Cтраница 2
А по формулам ( 23), будет полурешеткой по булеву умножению Л - Чтобы проверить, что [ S, Л, V ] является решеткой, достаточно установить эквивалентность равенств а Ь аЬ а и ab-b в А, а это очевидно. [16]
Пусть В ( В ] Л) - некоторая полурешетка и условный терм t ( x, у) сигнатуры ( Л) таков, что ( B t ( x, у)), снова является полурешеткой. [17]
Мы показываем, что это частично упорядоченное множество образует верхнюю полурешетку, обладая единственным минимальным классом, и доказываем, что не существует максимального класса. В процессе доказательства последнего утверждения введено понятие полной последовательности, т.е. последовательности, в которой встречается каждый блок алфавита, и отмечена важность этого понятия. Богатство этого частичного упорядочения проиллюстрировано двумя контрастирующими примерами: мы находим одну часть множества, в которой частичное упорядочение плотно, и в то же время приводим два класса [ х ] [ z ], не содержащие класса строго между ними. [18]
Частично упорядоченное множество Р называется нижней [ верхней ] полурешеткой ( или полуструктурой), если каждое двухэлементное его подмножество имеет точную нижнюю ( верхнюю) грань. В настоящее время термин структура чаще употребляется в другом смысле ( ср. [19]
Можно заметить, что механизм состоит из верхней и нижней полурешеток, причем каждый элемент одной полурешетки движется так, что всегда остается параллельным соответствующему элементу другой. В недавно опубликованной работе, где приводился этот пример [16], показано дополнительное звено, соединяющее центры обоих параллелограммов. Однако легко показать, что это звено является лишним: центры параллелограммов будут совпадать даже в том случае, если убрать соединения Л и В и позволить правому стержню двигаться вверх-вниз при фиксированном левом. [20]
Тогда ( S, ) есть полугруппа, разложимая в полурешетку полугрупп SY. [21]
Ua, но в U2 имеются моноиды, которые не являются полурешетками. [22]
Возникшее таким образом частично упорядоченное множество Р оказывается нижней [ верхней ] полурешеткой. [23]
В частности, любая полугруппа идемпотектов ( будучи связкой одноэлементных полугрупп) разложима в полурешетку прямоугольных полугрупп; это разложение единственно, его компоненты называют прямоугольными компонентами. [24]
Это означает, что класс - унитарных инверсных полугрупп совпадает с мальцевским произведением многообразия всех полурешеток на многообразие всех групп. [25]
Можно заметить, что механизм состоит из верхней и нижней полурешеток, причем каждый элемент одной полурешетки движется так, что всегда остается параллельным соответствующему элементу другой. В недавно опубликованной работе, где приводился этот пример [16], показано дополнительное звено, соединяющее центры обоих параллелограммов. Однако легко показать, что это звено является лишним: центры параллелограммов будут совпадать даже в том случае, если убрать соединения Л и В и позволить правому стержню двигаться вверх-вниз при фиксированном левом. [26]
Из в) получите, что категория Р - алгебр - это категория всех ( малых) полных полурешеток, где морфизмами являются функции, сохраняющие порядок и супремум. [27]
Легкое упражнение показывает, что класс всех конечных полугрупп S, обладающих тем свойством, что eSe есть полурешетка для любого идемпотента е е S, образует псевдомногообразие полугрупп. Имеются два различных доказательства теоремы 1.10, оба длинные и трудные. Доказательство Бжозовского и Саймона [1973] использует технику автоматных декомпозиций, тогда как доказательство Мак-Нотона [1974] чисто комбинаторное. Мы наметим доказательство теоремы 1.10, следуя Закстайну [1972, 1973], опустив при этом лишь доказательство наиболее трудной леммы. [28]
Теорема 3.8.1. а) При п 3 шкала ( СТ ( п) we является ни верхней, ни нижней полурешеткой. [29]
У - подмножество ( С, ) решетки L, состоящее из ее компактных, элементов, является J - полурешеткой с нулем. [30]