Cтраница 4
Всякая л - полугруппа S имеет единственное разложение в полурешетку архимедовых полугрупп; его компоненты называют архимедовыми компонентами полугруппы S. Полугруппа S будет - полугруппой тогда и только тогда, когда для любых a, 6eS из того, что а Ь, следует а1 Ь если при этом S есть эпигруппа, то указанные условия эквивалентны тому, что для любых а е S и e Es из того, что а е, следует а2 f е ( см. [79], а также [90], гл. Класс st - У весьма широк; он содержит все коммутативные полугруппы, а также, более общо, все медиальные ( с тождеством uxyv uyxv) и, еще более общо, все экспоненциальные ( с тождествами ( ху) хпуп для всех п) и все слабо коммутативные полугруппы. В класс з & У входят и все клиффордовы полугруппы. А именно, верен следующий основополагающий факт ( теорема Клиффорда, см., например, [18], теорема 4.6): произвольная клиффордова полугруппа разложима в полурешетку вполне простых полугрупп. Архимедовы компоненты клиффордовой полугруппы называют также вполне простыми компонентами. [46]
Многообразие алгебр называется резидуально малым, если мощности подпрямо неразложимых алгебр ограничены. Примерами резидуально малых многообразий являются многообразия абелевых групп, всех полурешеток, дистрибутивных решеток, булевых алгебр. Если дистрибутивное многообразие порождается конечной алгеброй, то оно резидуально мало ( см. [28], гл. Многообразие / С резидуально мало тогда и только тогда, когда в К любая алгебра вложима в эквациально компактную алгебру ( см. [28], гл. Обзор результатов по резидуально малым многообразиям приведен в [28], гл. [47]
Сопоставляя каждому подмножеству X е С наименьшей из содержащих его идеалов полурешетки С ( такой идеал существует: он равен теоретико-множественному пересечению всех идеалов, содержащих подмножество X ( среди них будет, например, даибольший идеал С)), получаем на С операцию замыкания. Замкнутыми подмножествами относительно нее являются идеалы полурешетки С, и только они. Пусть Jk - k е К ] - некоторое направленное семейство идеалов / - полурешетки С. [48]
Структура множества m - степеней с учетом имеющегося в нем отношения частичной упорядоченности, изучена довольно подробно. Следующая теорема показывает, что эта структура представляет собой то, что называют верхней полурешеткой. [49]
Во второй группе методов [94, 132] осуществляется алгебраизация свойств объектов анализа. Окружение для анализа - четверка, включающая структурный граф программы, решетку [131] или полурешетку [31] свойств, монотонное функциональное пространство и частичное отображение, сопоставляющее компонентам графа монотонную функцию. В Ажратном окружении [132] допускаются разнородные дуги, например для управления и синхронизации процессов. [50]