Cтраница 3
Операторы, вогнутые на части конуса. Пусть, как обычно, К0сК и полуупорядоченность в Е введена при помощи большего конуса К. [31]
В этой главе вводится понятие конуса в банаховом про-рранстве. При помощи конуса в пространстве определяется оотношение полуупорядоченности. [32]
Основные результаты в рассматриваемой области базируются на явлениях полуупорядоченности и монотонности. С этого ракурса предмет выглядит не так удивительно, зато более понятно. [33]
Пусть К - клин в линейном нормированном пространстве К Положим х у, если у - х & К. Таким образом, каждый клин определяет в Е некоторую полуупорядоченность. Эта полуупорядоченность согласована с линейностью пространства в том смысле, что из х у вытекает tx ty при t О и tх tу при t 0, а изх, 1 и х2 Уг следуетх 2 j i уг. Таким образом, неравенства со знаком обладают многими свойствами обычных числовых неравенств. [34]
Этот функционал является непрерывным сублинейным функционалом на X. Эта half - норма р называется канонической halt - нормой, соответствующей заданной полуупорядоченности. [35]
Лемма 5.1. Пусть конус К СЕ не обладает свойством нормальности. Тогда существует неубывающая последовательность х, ограниченная и по норме и по полуупорядоченности, которая не сходится. [36]
Второе направление обобщения характерно стремлением замейить понятие однопараметрической группы более общим понятием. Следуя этому пути, Б а р б а ш и и [3] заменяет однопараметрическую-группу полуупорядоченностью точек пространства, удовлетворяющей некоторым аксиомам. Обоим авторам удается перенести основные результаты теории динамических систем Биркгофа. [37]
Пусть К - клин в линейном нормированном пространстве К Положим х у, если у - х & К. Таким образом, каждый клин определяет в Е некоторую полуупорядоченность. Эта полуупорядоченность согласована с линейностью пространства в том смысле, что из х у вытекает tx ty при t О и tх tу при t 0, а изх, 1 и х2 Уг следуетх 2 j i уг. Таким образом, неравенства со знаком обладают многими свойствами обычных числовых неравенств. [38]
Норму в Е называют полумонотонной, если существует наименьшая константа 0 ( К) ( константа нормальности конуса К), такая, что из 0 х у следует х II 0 ( А) Их II. Если Норма полу монотонна, конус называют нормальным. Каждое Ограниченное по норме множество ограничено по полуупорядоченности, если и только если конус А телесен; каждое ограниченное по полуупорядоченности множество ограничено по норме, если и только если конус А нормален. Конусы А в пространствах Си Lp нормальны. [39]
Наличие порядка позволяет ввести естественные понятия мажоранты, миноранты, супремума, инфимума. Если множество М СЕ имеет мажоранту, то его называют ограниченным сверху; если имеет миноранту - ограниченным снизу. Ограниченное и снизу и сверху множество называют ограниченным, или ограниченным по полуупорядоченности. [40]
Норму в Е называют полумонотонной, если существует наименьшая константа 0 ( К) ( константа нормальности конуса К), такая, что из 0 х у следует х II 0 ( А) Их II. Если Норма полу монотонна, конус называют нормальным. Каждое Ограниченное по норме множество ограничено по полуупорядоченности, если и только если конус А телесен; каждое ограниченное по полуупорядоченности множество ограничено по норме, если и только если конус А нормален. Конусы А в пространствах Си Lp нормальны. [41]