Cтраница 3
В первую очередь мы рассмотрим понятие интеграла. Это понятие, по существу и из исторических соображений, следует выдвинуть на передний план в значительно большей мере, чем это обычно практикуется в силу действующей поныне педагогической традиции, покоящейся на случайных обстоятельствах. [31]
Это сразу же позволяет распространить понятие интеграла на весьма широкий класс функций. [32]
В этом параграфе мы рассмотрим понятие интеграла от функций комплексного переменного и важнейшие свойства аналитических функций, связанные с понятием интеграла или опирающиеся на него. Это дает новую концепцию в построении теории аналитических функций. Приложения понятия интеграла и теорем, на нем основанных, мы рассмотрим в следующих главах. [33]
Подобным образом мы можем обобщить понятие интеграла на случай, когда под интегралом стоят производные высшего порядка от 8-функции. [34]
В этом же духе определяется понятие п-кратного интеграла Римана. [35]
Другое столь же важное обобщение понятия интеграла заключается в том, что один из пределов интегрирования берут бесконечно болыиим. [36]
Первое и самое важное обобщение понятия интеграла подсказано геометрической интуицией, как, впрочем, и сам обыкновенный интеграл. Рассмотрим замкнутую область О плоскости ху, ограниченную одной или несколькими криволинейными дугами, имеющими непрерывно вращающуюся касательную, и функцию zf ( x y), непрерывную в G. Предположим сначала, что функция / не принимает отрицательных значений, и представим себе ее геометрическое изображение в виде куска поверхности в пространстве xyz, расположенного над областью Q. Через каждую точку границы области О проведем прямую, параллельную оси z; совокупность этих прямых образует цилиндрическую поверхность, перпендикулярную к плоскости ху. Построенная нами цилиндрическая поверхность, область G плоскости ху и заданная поверхность z / ( jc, y) отграничивают часть пространства или тело. Мы ставим себе целью найти ( или, точнее, определить, так как такое определение еще не было - дано) объем V описанного выше тела. [37]
Принятый здесь подход к определению понятий интеграла я интегрируемой функции представляет собой некоторую модификацию известной схемы Даяиеля-Рисса. Понятие интеграла определяется сначала для некоторых простейших функций в J. [38]
Поскольку в таком подходе к понятию интеграла первообразная подынтегральной функции не участвует, то формула ( 24) нуждается в доказательстве. [39]
Важнейшим понятием теории измеримых функций является понятие интеграла. [40]
Понятие меры Лебега вводится как приложение понятия интеграла - мера определяется как интеграл характеристической функции или индикатора множества. Все свойства меры непосредственно вытекают из свойств интеграла. [41]
Возможны и другие подходы к введению понятия интеграла II типа в курсе анализа. [42]
Совершенно так же обстоит дело с понятием интеграла. [43]
Формулу Лейбница он доказал в 1685 г. Понятие интеграла было им введено в 1686 г. Лейбниц получил много других основополагающих результатов в математическом анализе, его логические идеи стали исходным пунктом развития математической логики. [44]
Такие определения используют, как правило, сложное понятие интеграла Стилтьеса. [45]