Cтраница 2
Появление в 1931 г. двух теорем Геделя о неполноте, в 1933 г. работы Тар-ского о понятии истины в формализованных языках, в 1934 г. эрбран-геделев-ского понятия обще-рекурсивной функции и в 1936 г. связанного с ним тезиса Черча возвещает уже новейшую эру, в которой математические средства применяются как для оценки прежних программ, так и в новых, не предвиденных прежде направлениях. [16]
Стоит обратить внимание студентов на то, что кроме понятий абсолютной и относительной истины существует также, например, понятие релятивной истины: это такого рода истина, которая существенно зависит от произвола наблюдателя. Например, численное значение любой величины, характеризующей физический объект, зависит от произвольного выбора системы единиц, и в этом смысле является истиной релятивной. Это значение в то же время является истиной относительной при данной точности измерения, которая дает некоторое приближение к никогда точно не известному истинному значению рассматриваемой величины ( последнее столь же релятивно. [17]
Несмотря на полноту системы рг в данной интерпретации, эта система, безусловна, далека от того, чтобы полностью выразить понятие истины в теории чисел. Она, например, не может сказать нам, сколько всего простых чисел. Теорема Геделя о неполноте говорит, что любая достаточно мощная система уже в силу своей мощности является неполной, в том смысле, что имеются хорошо сформированные строчки, которые выражают истинные утверждения теории чисел, не являясь при этом теоремами. Иными словами, в теории чисел имеются истинные утверждения, не доказуемые внутри самой системы. Системы типа рг, полные но не очень мощные, напоминают патефоны низкого качества - мы сразу видим, что они настолько несовершенны, что никак не могут сделать то, чего бы нам от них хотелось - а именно, сказать нам все о теории чисел. [18]
Этот набросок нейронного субстрата парадокса Эпименида наводит ( по-крайней мере, меня) на мысль о том, что решение языковой версии парадокса Эпименида может быть подобно решению версии Тарского - то есть, что нам придется отказаться от мысли, что мозг может когда-либо с точностью представить понятие истины. Новым здесь является предположение, что полное воспроизводство истины невозможно по физическим причинам, поскольку оно включало бы физически несовместимые мозговые процессы. [19]
Ду синтаксическим и семантическим ( а потом и прагматическим) аспектами науки; получены важнейшие результаты, свидетельствующие о неполноте формализованных систем, включающих в себя арифметику натуральных чисел, а также о невозможности доказательства непротиворечивости таких систем средствами, формализуемыми в этих же системах; доказано существование областей науки, в которых имеются алгоритмически неразрешимые массовые проблемы; показана невозможность формализации понятия истины в некоторой теории средствами этой же теории и др. Эти результаты, как мы уже говорили в § 6 этой главы, свидетельствуют о том, что процесс математизации науки, переплетение в ней точных и эмпирически-описательных методов тем не менее сохраняет в целом ее двухэтажный характер. На шервом этаже знания, наиболее близком к его фундаменту - практике - располагается содержательная, неформализованная часть знания, над которой надстраивается этаж математических, математизированных, логически систематизированных, наконец, формальных теорий. [20]
Предметная область не является ни статичной, ни окончательно сформированной; вместо этого она постоянно расширяется по мере поступления новых данных и информации. Поэтому понятие истины в предметной области всегда относительно и зависит от тех знаний, которые представлены в нашем универсуме в каждый конкретный момент времени. [21]
Тарский) понятие истины в формализованных языках. Выполнимость же любой пропозициональной функции, составленной из исходных с помощью пропозициональных логических операций и кванторов, определяется через выполнимость исходных. [22]
Бор однажды сказал: Нельзя одновременно смотреть глазами любви и справедливости, - он понял, что не способен наказать провинившегося сына. На вопрос Что дополнительно понятию истины. [23]
Вот здесь и проявляется принцип дополнительности, который в данном случае может быть сформулирован так: попытка точного математического описания явления затрудняет ясное понимание. Не случайно на вопрос Что дополнительно понятию истины. [24]
Мы, однако, принимаем упомянутую идеализацию и всюду, где не оговорено противное, считаем, что всякое утверждение либо истинно, либо нет. Чтобы, наконец, совсем уйти от трудностей содержательного понятия истины, при формальном рассмотрении логического вывода вообще стараются не использовать термин истина, а говорят просто о выводимости утверждений. [25]
Термин определение истинности сам по себе не должен вводить нас в соблазн. Мы не должны ожидать от такого определения философского объяснения понятия истины. Напротив, в большинстве случаев речь здесь идет лишь о некотором уточнении того понимания формул, которое и без того лежит в основе обычного использования формализма, и задача такого определения заключается в том, чтобы выразить это понимание в общем виде, в его зависимости от структуры рассматриваемой формулы. [26]
Теперь давайте рассмотрим результат Тарского. Тарский хотел выяснить, существует ли способ выразить в ТТЧ понятие теоретико-численной истины. То, что теоремность можно выразить ( но не представить), мы уже видели; Тарский задался аналогичным вопросом в приложении к понятию истины. [27]
Конечно, логическая систематизация есть лишь одно из средств, используемых в человеческой познавательной и практической деятельности, создающей науку - это самое эффективное средство приспособления человека к среде обитания. Знаменитые результаты математической логики: теоремы о неполноте формализованных систем, включающих в себя арифметику натуральных чисел, а также о невозможности доказательства непротиворечивости таких систем средствами, формализуемыми в этих же системах; доказательство существования фрагментов дедуктивных наук, в которых имеются алгоритмически неразрешимые массовые проблемы; обнаружение невозможности формализации понятия истины, как оно используется в естественном языке, и др. - говорят о том, что при любом мыслимом прогрессе в математизации науки, при внедрении точных методов в эмпирически-описательные и экспериментальные области знания ( гуманитарные науки, биология и др.) наука в целом всегда будет носить, так сказать, двухэтажный характер: ее нижний этаж будет всегда занимать содержательная ( неформальная, неформализованная - на данной ступени развития) часть, а верхний этаж - формализованная, формальная. Взаимодействие между этими частями, основу которого составляет общественная практика, в частности техника ( технология) общества, является важной внутренней движущей силой науки. [28]
Таким образом, абстрактной истины нет, истина всегда конкретна. Конкретность включается в объективную истину. Вследствие этого понятие истины неотъемлемо от ее развития, от понятия творчества, необходимого для дальнейшей разработки и развития знания. [29]
Эта теорема называется теоремой Тарского. Ее можно прочесть так: множество арифметических истин не арифметично. Или: понятие арифметической истины невыразимо в арифметике. [30]