Cтраница 2
Первое строгое и непротиворечивое определение понятия истинное высказывание было получено Тарским в 1931 для языка исчисления классов с помощью понятия выполнимость в специально построенном метаязыке в следующей форме: высказывание X истинно, если и только если оно выполняется всеми предметами ( для языка исчисления классов - классами), и ложно, если не существует предметов, его выполняющих. Тар-ский показал, что формально точное определение понятия истинности высказывания некоторого языка L может быть дано лишь в некотором метаязыке ML, причем необходимо, чтобы ML был логически более богатым, чем L, а именно чтобы содержал язык L в качестве своей части и, кроме того, чтобы в ML имелись выражения более высоких логических типов ( теория типов), чем в языке L. А это условие заведомо не выполняется, если в качестве ii выступает естественный язык без каких-либо ограничений. Существенным результатом этих исследований было установление факта несовпадения классов истинных и доказуемых высказываний языка исчисления классов ( и др. логически более богатых языков): каждое доказуемое высказывание является истинным, но не каждое истинное высказывание доказуемо. Существуют и др. способы определения понятия И. [16]
Первое строгое и непротиворечивое определение понятия истинное высказывание было получено Тарским в 1931 для языка исчисления классов с помощью понятия выполнимость в специально построенном метаязыке в следующей форме: высказывание X истинно, если и только если оно выполняется всеми предметами ( для языка исчисления классов - классами), и ложно, если не существует предметов, его выполняющих. Тар-ский показал, что формально точное определение понятия истинности высказывания некоторого языка L может быть дано лишь в некотором метаязыке ML, причем необходимо, чтобы ML был логически более богатым, чем L, а именно чтобы содержал язык L в качестве своей части и, кроме того, чтобы в ML имелись выражения более высоких логических типов ( теория типов), чем в языке L. А это условие заведомо не выполняется, если в качестве Li выступает естественный язык без каких-либо ограничений. Существенным результатом этих исследований было установление факта несовпадения классов истинных и доказуемых высказываний языка исчисления классов ( и др. логически более богатых языков): каждое доказуемое высказывание является истинным, но не каждое истинное высказывание доказуемо. Существуют и др. способы определения понятия И. [17]
А истинно, если и только если оно выполняется всеми предметами ( для языка исчисления классов - классами), и ложно, если не существует предметов, его выполняющих. Тарский показал, что формально точное определение понятия истинности высказывания некоторого языка L может быть дано лишь в некотором метаязыке ML, причем необходимо, чтобы ML был логически более богатым, чем L, а именно чтобы ML содержал L в качестве своей части и, кроме того, чтобы в ML имелись выражения более высоких логических типов ( теория типов), чем в языке L. А это условие заведомо не выполняется, если в качестве L выступает естественный язык без к. Существенным результатом этих исследований было установление факта несовпадения классов истинных и доказуемых высказываний языка исчисления классов ( и др. логически более богатых языков): каждое доказуемое высказывание является истинным, но не каждое истинное высказывание доказуемо. Существование же истинных недоказуемых высказываний формализованного языка свидетельствует о его неполноте и непротиворечивости ( Логический синтаксис. Существуют и др. способы определения понятия И. [18]
Первое строгое и непротиворечивое определение понятия истинное высказывание было получено Тарским в 1931 для языка исчисления классов с помощью понятия выполнимость в специально построенном метаязыке в следующей форме: высказывание X истинно, если и только если оно выполняется всеми предметами ( для языка исчисления классов - классами), и ложно, если не существует предметов, его выполняющих. Тар-ский показал, что формально точное определение понятия истинности высказывания некоторого языка L может быть дано лишь в некотором метаязыке ML, причем необходимо, чтобы ML был логически более богатым, чем L, а именно чтобы содержал язык L в качестве своей части и, кроме того, чтобы в ML имелись выражения более высоких логических типов ( теория типов), чем в языке L. А это условие заведомо не выполняется, если в качестве Li выступает естественный язык без каких-либо ограничений. Существенным результатом этих исследований было установление факта несовпадения классов истинных и доказуемых высказываний языка исчисления классов ( и др. логически более богатых языков): каждое доказуемое высказывание является истинным, но не каждое истинное высказывание доказуемо. Существуют и др. способы определения понятия И. [19]
Суть этой теоремы заключается в следующем: В любой непротиворечивой формальной системе всегда могут быть формально неразрешимые положения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Применительно к учебному процессу и научному исследованию это означает, что понятие истинности всегда шире, чем понятие доказуемости в данной формальной системе, что указывает на невозможность решения новых учебных и научных задач в данной формальной системе определенных действий. Однако возможность решения таких задач вероятна в дополнительной, более развитой системе. Применительно к учебному процессу это означает, что руководитель системы - преподаватель всегда имеет возможность изыскать такую оптимальную дополнительную систему. [20]
Но эти замечания о возможности ослабления наших предположений показывают, что обстоятельство, которое было отмечено в связи с формализацией антиномии лжеца и для которого достаточно предположений а), б) и в), имеет место и в формализмах гораздо более общей структуры. Это обстоятельство состоит в том, что в формализмах указанного типа при условии их непротиворечивости понятие истинности данного высказывания не может быть изображено способом, соответствующим основным формальным свойствам этого понятия. [21]
При этом мы не будем связывать себя требованиями финитной точки зрения, а потому в рассмотрение сможет войти и такое доказательство, которое опирается на обычное истолкование формализма ( Z), соответствующее содержательному применению принципа tertium non datur к целым числам. Наиболее простой, напрашивающийся способ доказательства заключается в том, чтобы сформулировать для формул формализма ( Z) какое-либо определение понятия истинности, на основе которого можно было бы доказать, что всякая выводимая формула является истинной и что отрицание всякой истинной формулы истинным не является. [22]
Объектом освоения индивидом могут стать также те или иные концепции, включая религиозные и естественнонаучные. Можно ставить вопрос о соответствии убеждений индивида тому или иному комплексу религиозных догматов, или, к примеру, о правильности нашего понимания теории относительности или современной синтетической теории эволюции; и там, и здесь употребимо понятие истинности, что ведет к признанию существования концептуальной истины. Аналогично положение с представлениями того или иного субъекта о методах, средствах познания, например, с представлениями о системном подходе, о методе моделирования и т.п. Перед нами еще одна форма истины - операциональная. [23]
Эти предложения привлекательны и без понятия подтвержденного допущения. Я настаиваю, однако, на том, что в системах, основанных на понятии подтвержденного допущения, следует отказаться от трехзначной логики в пользу четырехзначной системы, представленной в настоящей работе, иначе возникает риск путаницы между понятиями истинности и подтвержденного допущения. Пользователи трехзначных систем с подтверждением допущений могут попытаться избежать трудностей, если будут заботиться об интерпретации своих систем в терминах подтверждений, а не значений истинности, но если спрятать это различие в множестве допущений, то опасность путаницы окажется еще большей. [24]
В языках программирования и в теории формальных языков семантика - это некоторая операция или функция над определен - ными множествами. Например, переработка информации или обращение к подпрограмме и ее выполнение являются такими операциями. Понятие истинности не является при этом основным, однако классы интерпретаций все же полезны. [25]
Особенно важным видом высказываний являются истинные высказывания. Некоторые понятия, тесно примыкающие к понятию истинности, обсуждаются в упражнениях. [26]
Необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство. При формализации термина ложный использовался принцип обобщения, при котором преобразованию подвергается универсальное множество в соответствии с выражениями (2.32) и (2.33), а функции степеней принадлежности остаются неизменными. В случае вычисления составных терминов, характеризующих понятие истинности фактов, преобразованию подвергаются степени принадлежности элементов универсального множества нечеткому подмножеству в соответствии с введенными операциями над нечеткими множествами. Это вытекает из того, что в первом случае выполняется переход от одного факта к другому, в частности от факта А к факту не А. Во втором - выполняется переход от одного термина, характеризующего истинность факта А, к другому. Естественно, что в последнем случае должна видоизменяться функция степеней принадлежности элементов универсального множества нечеткому подмножеству или, что эквивалентно, нечеткому термину. [27]
В нематематических науках высказывания этого рода представляют собой истинные высказывания о внешнем мире, и истинность их устанавливается в конечном счете на опыте. В аксиоматической же теории высказывания, принадлежащие к этому меньшему множеству, называются доказуемыми высказываниями, или теоремами -, они определяются как высказывания, выводимые чисто логическим путем из некоторых заранее выбранных и фиксированных высказываний, называемых аксиомами. В аксиоматической теории, как таковой, понятию истинности просто нет места - понятие истинного высказывания имеет смысл лишь в связи с возможными приложениями теории. Во всяком случае, коль скоро аксиомы предполагаются истинными, то истинными должны быть и теоремы ( при условии, конечно, что принятая нами логика обеспечивает правильность умозаключений), так как теоремы чисто логически следуют из аксиом. [28]
Теорема 9 дает характеризацию доказуемых в ИВ формул, основанную на строении эквивалентных им формул, находящихся в к. Сейчас мы получим семантическую характеризацию доказуемых в ИВ формул, осно - - ванную на понятии истинности. [29]
Причину указанного положения понять нетрудно. В самом деле, ограничив себя условием рассматривать элементарные высказывания только с позиций того, истинны они или ложны, мы тем самым сделали фактически неразличимыми между собой все истинные ( как и все ложные) элементарные высказывания. Поэтому, в частности, при определении содержания, вкладываемого в связку D, мы вынуждены оперировать лишь понятиями истинности и ложности, а на таком пути заведомо невозможно проникнуть во внутреннюю структуру элементарных высказываний всех классификаций, что, разумеется, необходимо для установления причинных связей между ними. [30]