Cтраница 3
Однако обойтись одними лишь формулами нельзя, ибо построение есть активное действие, и практически употребительное правило умозаключения безусловно необходимо. В этом заключается правильное ядро учения о нормативном характере логики. Кантовское различение аналитических и синтетических суждений ( Критика чистого разума, введение) сформулировано столь туманно, что сравнение с четким понятием формальной истинности в математической логике, базирующимся в конечном счете на логических аксиомах, попросту невозможно. Гуссерль пишет: Аналитические законы - это безусловно всеобщие положения, не содержащие никаких понятий, кроме формальных. Аналитическим законам противостоят их спецификации, возникающие в результате введения реальных ( sachhaltig) понятий и эвентуально устанавливающих индивидуальное существование идей. [31]
Теории, которые могут повлиять на субъект исследования, к которому они относятся, являются далеко не бессмысленными. Они могут изменить мир. Они играют такую же активную роль, которую играет мышление, когда влияет на реальность. Нам необходимо скорректировать наше понятие истинности и принимать во внимание и эти влияния. [32]
Последний проистекает прежде всего из того, что утверждения математики не допускают эмпирической, опытной проверки - сравнения с фактами, не опосредованного предварительно созданной ( абстрактной) теорией. Однако математика, как и любое знание вообще, не может обойтись без понятия истинности - вопреки иногда высказываемому взгляду ( его придерживается, например, С. Лем, который в своей книге Сумма технологии утверждает, что понятие истины неприменимо в математике, пытаясь основать на этом тезисе специфику математического знания; см. С. В этом нетрудно убедиться, раскрыв работы по основаниям математики, в которых понятие истинности - вместе с такими понятиями, как непротиворечивость или полнота математических теорий - принадлежит к числу важнейших ( см., например: С. К. Клини, 1957; А. А. Френкель и И. [33]
Теорема 15.6, таким образом, является уточнением приведенной выше трактовки теоремы Геделя в том смысле, что она указывает достаточное условие достаточной силы, а именно быть расширением теории Q. Из теоремы 15.6, таким образом, следует, что любая непротиворечивая математическая теория, теоремами которой являются в точности все следствия некоторого эффективно описываемого множества аксиом, среди которых - семь аксиом теории Q, неполна; значит, для любой интерпретации языка такой теории существуют истинные в этой интерпретации утверждения, не являющиеся теоремами этой теор ии. И, возможно, наиболее значительным следствием теоремы 15.6 является то, что она говорит о соотношении понятия истинности формулы ( в стандартной интерпретации языка арифметики) и понятия быть теоремой или доказуемой формулой ( в любой конкретной формальной теории): эти понятия ни в каком смысле не совпадают. [34]
Мы определим список символов и затем укажем точные правила, по которым из символов строятся предложения. Формальный язык требуется нам для того, чтобы в наших рассуждениях о моделях мы могли использовать и предложения соответствующих формальных систем. С этой целью мы каждой паре, состоящей из предложения и модели, ставим в соответствие одно из истинностных значений - истинно или ложно. Вводимое таким образом понятие истинности играет роль моста, связывающего формальный язык с его интерпретацией посредством моделей. [35]
Оно возникло как осознание той схемы использования разума, которую мы описали и которую коротко выражают словами: практика - критерий истины. Если услышавший высказывание человек может совершать на этой основе некоторые действия и всякий раз получать тот результат, который он ожидал в связи с полученной информацией, высказывание следует считать истинным. В случае, когда информация не оправдывается, надо говорить о ложном высказывании. Широко применяемая разведчиками и игроками методика дезинформирования противника ( у игроков - блеф) иллюстрирует именно эту исходную суть понятий истинности и ложности - успех или неудача действий, совершаемых на основе информации. [36]
Ответ заключается в том, что здесь имеются два уровня значения. Если бы формула Т Тарского действительно существовала, то она являлась бы высказыванием о натуральных числах, которое одновременно и истинно и ложно. Именно в этом вся загвоздка. В то время как мы можем отмахнуться от парадокса Эпименида в русском языке, сказав, что его тема ( его собственная истинность) - это нечто абстрактное, дело меняется, когда речь идет о конкретных высказываниях о числах. Следовательно, в ТТЧ невозможно выразить понятие истинности. Заметьте, что это делает истину еще более неуловимым понятием, чем, теоремность, поскольку та, по крайней мере, выразима. [37]
Позже были введены формальные системы интуиционистского анализа ( см., напр. Многие исследования по интуиционистской логике и математике имеют дело с формальными системами. Понятие реализуемости формул по Клини представляет одну из попыток интерпретировать понятие интуиционистской истинности с точки зрения классич. Однако оказалось, что не всякая реализуемая формула исчисления высказываний выводима в интуиционистском ( конструктивном) исчислении высказываний. [38]
Такие утверждения невозможны вследствие теоремы Геделя о неполноте. Современная математика рассматривает так называемые системы. Гильберт ввел в качестве такой системы язык, состоящий из конечного алфавита символов, определенной грамматики, с помощью которой формируются осмысленные утверждения, конечного числа аксиом и конечного числа правил для вывода теорем из аксиом и других теорем. В 1931 г. Гедель показал, что любая формальная система такого рода не может включать все истинные теоремы и поэтому не полна. Доказатель - ствр Геделя связано с парадоксом критянина Эпименида: Все критяне лжецы. Или, в иной формулировке: Это утверждение ложно - утверждение истинное, только если опо ложно. Гедель заменил понятие истинности понятием доказуемости: Это утверждение не доказуемо. Таким образом, либо ложность доказуема, что запрещено, либо истинное утверждение не доказуемо и, следовательно, формальная система не полна. В формальной системе нельзя доказать, что определенная последовательность двоичных единиц имеет сложность, более высокую, чем число бит в программе, используемой для нахождения этой последовательности. [39]
Гедель утверждает, что никакая достаточно мощная формальная система не может быть совершенна - то есть способна представить любое истинное высказывание в виде теоремы. Так же, как и в случае с патефонами, это кажется дефектом только тогда, когда мы предъявляем слишком высокие требования к возможностям формальных систем. Доказательство обратного было найдено в 1931 году. Тот факт, что в любой достаточно сложной формальной системе истинных утверждений больше, чем теорем, называется неполнотой этой системы. Удивительно то, что методы рассуждения, используемые Ге делем в его доказательстве, по-видимому, невозможно заключить в рамки формальных систем. С первого взгляда кажется, что Геделю впервые удалось выразить необычайно глубокую и важную разницу между человеческой логикой и логикой машины. Это загадочное несоответствие между мощью живых и неживых систем отражено в несоответствии между понятием истинности и понятием теоремности; таков возможный романтический взгляд на эту ситуацию. [40]
Аксиоматические теории часто исходят из некоторых интуитивных теорий. В качестве примеров сразу приходят в голову такие теории, как арифметика, механика, теория вероятностей и геометрия, развиваемые обычно на интуитивной основе. После того, как интуитивная теория развита настолько, что ее основные свойства считаются известными, тогда уже можно рассчитывать ( или хотя бы попытаться) ее аксиоматизировать. Первым шагом в этом направлении является перечисление основных объектов, кладущихся в основу рассматриваемой теории, и основных свойств, которыми обладают эти объекты. Затем в качестве имен для этих выбранных объектов вводятся какие-нибудь символы ( в частности, такими символами могут быть и слова), после чего выбранные нами основные свойства избранных объектов записываются с помощью отобранных символов. Символы эти носят название первичных терминов ( или символов) формализуемой теории, а исходные высказывания, составленные из них, - аксиом данной теории. Теперь в рамках некоторой фиксированной системы логики выводятся теоремы. Одно из требований, предъявляемых к аксиоматической теории, состоящее в том, что понятие истинности не должно в ней явным образом использоваться, удовлетворяется благодаря тому, что первичные термины не определяются, а аксиомы понимаются просто как исходный список теорем. Степень успешности аксиоматизации какой-нибудь интуитивной теории определяется числом теорем, которые ( после приписывания входящим в их формулировки первичным терминам интуитивно подразумеваемых значений этих терминов) обращаются в истинные - с точки зрения наших знаний-утверждения. Осуществление такой программы аксиоматизации интуитивной теории допускает довольно значительный произвол в выборе основных понятий, и фактически отбираемые понятия часто очень отличаются друг от друга. Гильберта, имеется шесть первичных терминов: точка, прямая, плоскость, инцидентно, между и конгруэнтно. [41]