Понятие - кольцо
Cтраница 2
Татт в этой работе вводит понятие кольца графов. Кольцо графов - это линейное пространство, натянутое на графы. Произведение задается несвязным объединением графов. Его долго ругали за эту работу все комбинаторщики, потому что непонятно, зачем нужна кольцевая структура на графах. С другой стороны, эта работа считается классической. Естественное желание, которое возникло, - проверить, не дадут ли другие инварианты Татта весовые системы. Единственный инвариант Татта, который приводит к весовым системам, - это хроматический многочлен. Но при этом выяснилось следующее. Давайте посмотрим на четыре хордовые диаграммы, которые участвуют в четырехчленном соотношении. [16]
 |
Скалярное поле.| Поверхности одинакового уровня. [17] |
В заключение следует дать определение понятиям кольца и поля, которые наряду с понятием группы играют важную роль в теории множеств. Кольцом называется множество Л, если в нем определены две операции - сложение и умножение, - обе коммутативные и ассоциативные, а также связанные законом - дистрибутивности, причем сложение обладает обратной операцией - вычитанием. [18]
 |
Скалярное поле.| Поверхности одинакового уровнЯ. [19] |
В заключение следует дать определение понятиям кольца и поля, которые наряду с понятием группы играют важную роль в теории множеств. Кольцом называется множество R, если в нем определены две операции - сложение и умножение, - обе коммутативные и ассоциативные, а также связанные законом дистрибутивности, причем сложение обладает обратной операцией - вычитанием. [20]
В теории меры наряду с понятием кольца важную роль играет более общее понятие - понятие полукольца множеств. [21]
Цель настоящего параграфа - показать, что понятие кольца с мерой не является таким общим, как это может показаться. Действительно, мы докажем, что каждое кольцо с мерой, удовлетворяющее некоторым весьма общим условиям, является кольцом с мерой некоторого пространства с мерой. [22]
Мы уже подготовлены теперь к общему определению понятия кольца, одного из важнейших понятий алгебры. [23]
Более широким, чем понятие поля, является понятие кольца. В отличие от случая поля, здесь уже не требуется выполнимости деления и, кроме того, умножение может быть некоммутативным и даже неассоциатнвным. Простейшими примерами колец служат совокупность всех целых чисел ( включая и отрицательные), система многочленов от одного неизвестного и система действительных функций действительного переменного. Теория колец включает в себя такие старые ветви алгебры, как теория гиперкомплексных систем и теория идеалов, она связана с рядом математических наук, в частности с функциональным анализом, и уже нашла некоторые выходы в физику. Курс высшей алгебры, по существу, содержит лишь определение понятия кольца. [24]
В ряде вопросов, например, в теории меры наряду с понятием кольца важную роль играет более общее понятие полукольца множеств. [25]
Понятие группы возникает на основе рассмотренных выше, а также других примеров таким же образом, как при рассмотрении арифметик возникло понятие кольца. [26]
Опустив в этом определении требование 10 о существовании частного и требований 7, 8 коммутативности и ассоциативности умножения, получим определение понятия кольца - одного из важнейших понятий современной алгебры. [27]
Понятие кольца, введенное в § 1, является слишком общим для построения сколь-либо содержательной структурной теории произвольных колец. Для получения интересных структурных результатов нужно наложить некоторые дополнительные условия на операцию умножения. В зависимости от вида наложенных ограничений при этом получаются различные классы колец. [28]
В новой монографии Кона собран обширный материал по свободным ассоциативным алгебрам и близким к ним кольцам, прежде всего кольцам свободных идеалов. Понятие кольца свободных идеалов было введено автором в 1964 г. и с тех пор появилось большое число работ, посвященных изучению этого класса колец. Впервые в мировой математической литературе этот материал систематизирован и изложен в виде монографии. Многие результаты, вошедшие в книгу, публикуются здесь впервые. В книге приводятся получившие большую известность результаты автора по вложению колец в тела. [29]
В коммутативном случае I ( a) - R и собственное кольцо совпадает с кольцом R / a; это же имеет место и в случае, когда а - двусторонний идеал. Важность понятия собственного кольца иллюстрируется следующим предложением. [30]
Страницы: 1 2 3