Понятие - кольцо
Cтраница 3
По поводу теоремы 5.5 и ее приложения к свободным произведениям см. Кон [ 6Г ]; предложение 5.8 является известным. Теорема 6.1 и понятие итерированного кольца косых многочленов принадлежат Ятегаонкару [69, 69 ]; изложение, приведенное в этой главе, является новым. [31]
Почти все кольца, рассматриваемые в этой книге, обладают тем свойством, что все их ( односторонние) идеалы являются свободными левыми или соответственно правыми модулями единственного ранга. Это приводит к понятию кольца свободных идеалов или FI-кольца, изучение которого и составляет предмет настоящей главы. [32]
Таким образом, примерами колец являются числовые кольца и кольца многочленов от неизвестного х с коэффициентами из данного числового поля или даже из данного числового кольца. Укажем еще один пример, хорошо выясняющий широту понятия кольца. [33]
 |
Пример графа, отображающего водопроводную сеть. [34] |
Такая сеть называется неплоской. Для неплоской сети уравнение (13.37) также справедливо, но понятие кольца в ней заменяетея более общим понятием контура. Если сеть содержит насосные установки, то они рассматриваются как участки, которые называются особыми. [35]
С этой целью мы введем понятие п о л я, а также более широкое, но в нашем курсе играющее лишь служебную роль, понятие кольца. [36]
Отметим, что в силу теоремы 1.5.2 жесткая область целостности является 2 - Р1 - кольцом. Определим теперь жесткую UF-об-ласть как атомную жесткую область целостности. В коммутативном случае понятие жесткой области целостности совпадает с понятием кольца нормирования, а жесткой UF-области-с понятием кольца дискретного нормирования. В некоммутативном случае класс жестких областей целостности является значительно более широким, чем класс некоммутативных колец нормирования. [37]
Отметим, что в силу теоремы 1.5.2 жесткая область целостности является 2 - Р1 - кольцом. Определим теперь жесткую UF-об-ласть как атомную жесткую область целостности. В коммутативном случае понятие жесткой области целостности совпадает с понятием кольца нормирования, а жесткой UF-области-с понятием кольца дискретного нормирования. В некоммутативном случае класс жестких областей целостности является значительно более широким, чем класс некоммутативных колец нормирования. [38]
Кратко изложив ( в § 3.1) известные понятия и утверждения, касающиеся коммутативных областей с однозначным разложением, мы переходим к изучению более широкого класса колец, определяемого в терминах решетки делителей произвольного элемента кольца. Возникающее в результате понятие некоммутативной области с однозначным разложением ( UF-области) является наиболее интересным в случае 2 - Р1 - колец. В остальных параграфах мы рассматриваем различные аспекты свойств элементов колец, связанных с разложением, включая понятие строгой UF-области, которое является некоммутативным аналогом понятия кольца дискретного нормирования. [39]
Именно в этот период А. Н. Колмогоров ввел в топологию понятие верхнего граничного, или V-оператора, одновременно с американским математиком Александером и независимо от него. С помощью этого оператора он построил теорию когомологических групп ( как тогда говорили, V-групп) первоначально для комплексов, а затем для любых бикомпактных пространств. На этой базе им было построено понятие когомологического кольца - одного из важных топологических понятий. Необходимо указать также исключительно общую формулировку закона двойственности, относящегося к замкнутым множествам, расположенным в любых локально бикомпактных вполне регулярных топологических пространствах, удовлетворяющих лишь условию ацикличности в тех размерностях, о которых идет речь в самой формулировке результата. [40]
Более широким, чем понятие поля, является понятие кольца. В отличие от случая поля, здесь уже не требуется выполнимости деления и, кроме того, умножение может быть некоммутативным и даже неассоциатнвным. Простейшими примерами колец служат совокупность всех целых чисел ( включая и отрицательные), система многочленов от одного неизвестного и система действительных функций действительного переменного. Теория колец включает в себя такие старые ветви алгебры, как теория гиперкомплексных систем и теория идеалов, она связана с рядом математических наук, в частности с функциональным анализом, и уже нашла некоторые выходы в физику. Курс высшей алгебры, по существу, содержит лишь определение понятия кольца. [41]
Страницы: 1 2 3