Cтраница 3
В силу первой аксиомы (27.1) отношение ортогональности двух векторов симметрично. В пространстве направленных отрезков понятие ортогональности совпадает, в основном, с понятием перпендикулярности. Поэтому ортогональность можно рассматривать как обобщение понятия перпендикулярности на абстрактные евклидовы пространства. [31]
В развитой здесь теории не имеет смысла вопрос о том, ортогонально или неортогонально пересекаются лучи и поверхности. Мы не имеем римановой метрики в пространстве QT, а понятие ортогональности кривой и подпространства неинвариантно относительно преобразований координат. [32]
Функции, составляющие ряд Фурье, sin kx, cos kx, рассматриваемые в интервале [ - тг, - j - тг ], были первым примером полной ортогональной системы функций. Ко времени их открытия понятие функционального пространства и более широкие обобщения понятия ортогональности не были еще осознаны. Теперь мы знаем, что функции Фурье представляют собой только одну особенно интересную ортогональную систему отсчета в функциональном пространстве. Но имеется бесконечно много других таких систем ( они получаются в результате поворота системы первоначальных осей, рассматриваемой как твердое тело), которые также обладают замечательными свойствами функции Фурье аппроксимировать самые причудливые функции. [33]
Из аксиомы 4Q следует, что длина вектора неотрицательна и обращается в нуль лишь для нулевого вектора. Так как скалярное произведение двух векторов, вообще говоря, комплексно, то мы не будем определять угла между векторами, а введем лишь понятие ортогональности двух векторов. [34]
Из аксиомы 4 следует, что длина вектора неотрицательна и обращается в нуль лишь для нулевого вектора. Так как скалярное произведение двух векторов, вообще говоря, комплексно, то мы не будем определять угла между векторами, а введем лишь понятие ортогональности двух векторов. [35]
Здесь временная зависимость выступает в явном виде. Такое понимание отведения, несмотря на трудности, которые оно ставит перед человеком, не имеющим математической подготовки, имеет большое значение для унификации теории, из него непосредственно следует, что система возможных отведений образует линейное пространство, а при добавлении понятия ортогональности ( или скалярного произведения) - векторное пространство. Однако это не есть векторное пространство векторной кардиограммы, а возникающее здесь понятие ортогональности отведений является одним из принципиальных источников недоразумений в этом вопросе. Далее заметим, что потенциалы отведений можно складывать, умножать на скаляры и находить обратные и что существует нулевое отведение, так что если принимать результирующие разности потенциалов за потенциалы для нового отведения, то для отведений определяются обычные операции в векторном или линейном пространстве. [36]
При этом условии векторы независимы в том смысле, что проекция одного вектора на направление другого равна нулю. Другими словами, вклад одного вектора в другой равен нулю. Подобный же смысл имеет понятие ортогональности для волновых функций, где оно означает, что эти функции независимы друг от друга. [37]
Если функция 1, х ( s), y ( s), co ( s), входящие в состав подынтегральных выражений в (14.32), принять не произвольными, как это было сделано выше г), а за счет выбора системы координатных осей х, у и положения точек А и М1 добиться того, чтобы эти функции являлись ортогональными ( такие функции будем называть главными координатами ], то система уравнений (14.31) существенно упрощается. Действительно, из самого определения понятия ортогональности системы функций вытекает обращение в нуль интегралов, входящих в (14.31) и расположенных в (14.32) выше ступенчатой линии. [38]
Теперь мы переходим к исследованию линейных операторов, действующих в унитарном пространстве. Конечно, все результаты, полученные ранее в отношении операторов в комплексном пространстве, имеют место и в этом случае. Поэтому мы будем изучать лишь дополнительные свойства операторов, связанные с понятием ортогональности. В отдельных случаях мы будем рассматривать и операторы, действующие из одного унитарного пространства в другое унитарное пространство. [39]
Здесь временная зависимость выступает в явном виде. Такое понимание отведения, несмотря на трудности, которые оно ставит перед человеком, не имеющим математической подготовки, имеет большое значение для унификации теории, из него непосредственно следует, что система возможных отведений образует линейное пространство, а при добавлении понятия ортогональности ( или скалярного произведения) - векторное пространство. Однако это не есть векторное пространство векторной кардиограммы, а возникающее здесь понятие ортогональности отведений является одним из принципиальных источников недоразумений в этом вопросе. Далее заметим, что потенциалы отведений можно складывать, умножать на скаляры и находить обратные и что существует нулевое отведение, так что если принимать результирующие разности потенциалов за потенциалы для нового отведения, то для отведений определяются обычные операции в векторном или линейном пространстве. [40]
Другая трудность состоит в правильном выборе темпа изложения. Если предполагать, что операции с матрицами уже знакомы студенту, то материал первой главы нужно излагать не слишком медленно, поскольку следующая глава потребует от читателя значительных усилий. Ее цель состоит в том, чтобы объяснить смысл уравнения Ах Ь глубже, чем позволяет метод исключения. Я считаю, что введение четырех основных подпространств-пространства столбцов матрицы А, пространства ее строк и их ортогональных дополнений ( двух нуль-пространств) - дает эффективный способ построения примеров линейной зависимости и независимости, а также хорошо иллюстрирует идеи базиса, размерности и ранга. Кроме того, с помощью понятия ортогональности обычная геометрия трехмерного пространства естественным образом распространяется на n - мерный случай. [41]