Cтраница 2
Данное упражнение ( вместе с двойственным утверждением) показывает, что понятие почти расщепляющейся последовательности двойственно самому себе. [16]
Выше мы уже отмечали, что понятие направленности - это модификация понятия последовательности, приспособленная для изучения проблем сходимости в общих топологических пространствах. Необходимость модифицировать понятие последовательности возникла потому, что существуют топологические пространства, топология которых не может быть полностью описана Б терминах последовательностей, в противоположность, например, вещественной прямой, где замкнутые множества можно охарактеризовать как множества, которые вместе со всякой сходящейся последовательностью содержат ее предел. Возникает вопрос, в каких топологических пространствах для описания топологии достаточно последовательностей. Вопрос поставлен не совсем точно, и мы увидим, что на него можно ответить двумя различными способами - мы определим два класса пространств, естественных в этом контексте. Оба этих класса более широкие, чем пространства с первой аксиомой счетности. [17]
Если мы в этом определении заменим понятие пути, стремящегося к границе, понятием последовательности, обладающей тем же свойством, то получим понятие более широкое, чем предыдущее, - понятие предельного значения отображения. [18]
Для дискретных источников, выдающих стационарные последовательности сообщений достаточно большой длительности Т, введено понятие типичных и нетипичных последовательностей сообщений. При Т - с все типичные последовательности имеют примерно одинаковую вероятность появления, в то время как суммарная вероятность появления всех нетипичных последовательностей стремится к нулю. Отмеченные свойства последовательностей дискретного источника обобщены теоремой асимптотической равновероятности, которая следует из закона больших чисел. [19]
В языке Паскаль файлы трактуются как файлы строго последовательного доступа и базируются на используемом в математике понятии последовательности. Как и массивы, файлы в языке Паскаль представляют собой однородные структуры, но в отличие от массивов размер файлов может изменяться динамически. Естественно, в процессе проектирования языка Паскаль существенное внимание было уделено не только вопросам простого и целостного определения ( с точки зрения математики) файлов и операций над ними, но и вопросам их ( файлов и операций под ними) эффективной реализации, в частности, с учетом того, что для размещения файлов будет использоваться внешняя, ( вторичная) память. Оказалось, что реализованная в языке Паскаль концепция файлов очень удачна с точки зрения реализации, но не с точки зрения математической аксиоматизации, которая крайне желательна как инструмент для создания надежного программного обеспечения. Следует отметить, что эти изменения, за исключением замены параметров-констант на параметры-значения, явились единственными изменениями, имевшими заметное и нетривиальное влияние на уже существующие программы. Видоизмененная концепция файлов доказала, что она представляет собой заметное улучшение языка Паскаль, и только длительная эксплуатация последнего выявила ряд присущих этой концепции недостатков. Может быть, именно по этой причине концепция файлов в языке Паскаль никогда не упоминалась в критических замечаниях, высказывавшихся в адрес языка Паскаль. [20]
Впоследствии нам придется подробнее знакомиться со свойствами выпуклых функций; в данное время мы говорим о них лишь в связи с понятием выпуклой последовательности. [21]
При вычислении типологической энтропии в ряде примеров мы будем использовать результат, аналогичный теореме 2.32 и следствию 2.48. Для его формулировки введем теперь понятие измельчающейся последовательности покрытий. [22]
Если в качестве направленного множества мы возьмем натуральные числа в естественном порядке, то направленностями будут просто последовательности в X, так что направленность есть обобщение понятия последовательности. [23]
А теперь - совершенно аналогично тому, как это было сделано в случае положительных действительных чисел, - определив соответствующий предикат 6 ( и), мы сможем формализовать понятие последовательности действительных чисел и предела такой последовательности, а также формально изобразить основные теоремы о пределах. [24]
Вместе с тем, как уже отмечалось ранее, во многих вопросах оказывается необходимым рассматривать значительно более общую ситуацию, получающуюся заменой множества N натуральных чисел произвольным направленным множеством S, что н приводит к понятию обобщенной последовательности или направленности. [25]
Из изложенного выше читатель усмотрел, конечно, тесную связь между двумя плодотворными концепциями, а именно фильтрами и нанравленностями, которые, хотя и по-разному, обобщают столь фундаментальное для всей математики понятие, каким является понятие последовательности и ее предела, однако приводят ( согласно теореме 4.17), по существу, к эквивалентным теориям сходимости. [26]
Хотя с точки зрения интуиции между понятиями последовательности и варианты имеются некоторые различия, по существу эти понятия эквивалентны. Эквивалентность понятий последовательности и варианты отражается и в обозначениях: стандартным обозначением для обоих служит символ вида хп. Заметим, что более универсальный термин последовательность распространен сейчас гораздо шире термина варианта, который почти вышел из употребления. [27]
Выше мы уже отмечали, что понятие направленности - это модификация понятия последовательности, приспособленная для изучения проблем сходимости в общих топологических пространствах. Необходимость модифицировать понятие последовательности возникла потому, что существуют топологические пространства, топология которых не может быть полностью описана Б терминах последовательностей, в противоположность, например, вещественной прямой, где замкнутые множества можно охарактеризовать как множества, которые вместе со всякой сходящейся последовательностью содержат ее предел. Возникает вопрос, в каких топологических пространствах для описания топологии достаточно последовательностей. Вопрос поставлен не совсем точно, и мы увидим, что на него можно ответить двумя различными способами - мы определим два класса пространств, естественных в этом контексте. Оба этих класса более широкие, чем пространства с первой аксиомой счетности. [28]
Частично упорядоченное множество Л называется направленным. Понятие направленности обобщает понятие последовательности. [29]
Кнута ( первый том вышел в издательстве Мир в 1976 г.) состоит из двух частей: Случайные числа и Арифметика. В первой части подробно анализируется понятие последовательности случайных чисел, приводятся алгоритмы генерирования случайных чисел. Вторая часть посвящена исследованиям, связанным с выполнением вычислений, ошибками округления, быстрым умножением. Подробно исследованы различные аспекты проблемы вычисления многочленов и степенных рядов. [30]