Cтраница 3
Во всяком топология, пространстве определено понятие С. Чтобы это стало возможно, вводится понятие сходящейся обобщенной последовательности. [31]
СИМСКРИПТ - универсальный язык, в основу которого положен ФОРТРАН. К числу основных понятий языка относятся понятие списка с компонентами, определяемыми пользователем, и понятие последовательности событий. В языке предусматриваются специальные средства для работы с упорядоченными множествами и для исчисления предикатов. [32]
О трудностях, встретившихся при этом, Колмогоров пишет в [1] в связи с определением понятия бернуллиевской последовательности. Эти трудности были преодолены в 1973 г. независимо Левиным и Шнорром ( см. [19, 8]), указавшими такой критерий в терминах монотонной энтропии. Этот критерия состоит в следующем: последовательность ш случайна относительно вычислимой меры Р тогда и только тогда, когда существует такая константа С, что монотонная энтропия КМ ( х) любого ее начального отрезка х не меньше - Iog2 Р ( Гж) - С. [33]
Так, например, теперь стало очевидным, что важнейшее понятие одновременности или, говоря общее, понятие последовательности во времени двух событий, пространственно удаленных друг от друга, в доре-лятивистской физике вообще не имело никакого однозначного, определенного смысла. Оперируя этим понятием, в дорелятивист-ской физике неявно предполагали существование сигналов и действий, мгновенно распространяющихся на любые расстояния, тогда как на самом деле в природе таких сигналов и действий не существует. Эта логическая несостоятельность старых представлений представляется нам теперь почти самоочевидной. [34]
Формулировке общей теоремы 3.3.8, частным случаем которой является теорема 3.3.7, нам придется предпослать одно определение. Смысл его в том, что в один и тот же класс объединяются все функции, разность которых регулярна в большем круге, чем они сами. Для этой цели вводится понятие последовательности малых коэффициентов. [35]
Они становятся таковыми, если пытаться построить их теорию, например, решать вопрос, формируем ли мы понятие сущности, абстрагируясь от действительных восприятий предметов, или же, наоборот, понятие сущности должно наличествовать в нашем уме, чтобы дать нам возможность воспринимать предмет отдельно от всего остального мира. Но такие вопросы не имеют ничего общего с математикой. Мы просто констатируем факт, что понятие абстрактной сущности и понятие последовательности таких сущностей ясны для каждого нормального человеческого существа, даже для маленьких детей. [36]
Множество всех пар ( а, 6) ] аеЛ, b e В называется прямым ( или декартовым) произведением множеств А и В и обозначается через А X В. Подчеркнем, что как понятие пары, так и вводимое ниже понятие последовательности в нашем изложении являются неопределимыми: определено лишь равенство пар и последовательностей. [37]
Множество всех пар ( а Ь) а А, Ь В ] называется прямым ( или декартовым) произведением множеств А я В я обозначается через А X В. Подчеркнем, что как понятие пары, так и вводимое ниже понятие последовательности в нашем изложении являются неопределимыми: определено лишь равенство пар и последовательностей. [38]
Это замечание относится и к понятию, скажем, действительного числа. Бесконечная десятичная дробь служит обозначением действительного числа, но не его определением. До того как введены определения равенства таких дробей, знаков, и действий над ними, бесконечная десятичная дробь не представляет собой ничего большего, чем понятие последовательности. [39]
Результаты об изоморфизмах прямых разложений групп и колец из работ А. Г. Куроша [17, 22], отмеченные в § § 2 и 9, были получены путем теоретико-структурной модификации метода Круля-Коржинека. В этих работах А. Г. К у р о ш а показано также, что вопрос о существовайии общих продолжений для двух данных прямых разложений целиком относится к теории структур, а именно введено понятие центра данной пары прямых разложений единицы во вполне дедекиндовой структуре и доказано, что равенство центра нулю необходимо и достаточно для существования общего продолжения для данных разложений. Введено также понятие последовательности центров данной пары прямых разложений и для случая прямых разложений с двумя слагаемыми каждое доказано, что если эта последовательность центров на конечном месте достигает нуля, то данные прямые разложения обладают прямо подобными продолжениями. [40]
Что касается, прежде всего, самого понятия числа, то корни его в высшей степени трудно вскрыть. Легче всего дышится, быть может, тогда, когда решаешься вовсе оставить в стороне эти трудные вещи. За более подробными указаниями относительно этих вопросов, очень усердно обсуждаемых философами, вы вновь должны обратиться к соответствующей статье Энциклопедии математических наук 7); здесь же я ограничусь немногими замечаниями. Очень распространена точка зрения, что понятие числа тесно связано с понятием последовательности во времени. [41]
Общие самодовлеющие суждения математики трактуют частью о всем целом ( Allheit) натуральных чисел, частью же о всем целом становящихся посредством свободных актов выбора последовательностей натуральных чисел. Они, значит, относятся частью к простирающейся в бесконечность возможности безграничного, определяемого законом алеф, продолжения процесса развертывания натуральных чисел, а частью к заключенной в становящейся числовой последовательности бесконечной свободе вечно новых ничем не связанных актов выбора, которые на каждом шагу обрывают на произвольном месте все вновь и вновь начинающийся процесс развития натурального числового ряда. По самому существу дела интуиция сущности ( Wesenseinsicht), из которой проистекают все общие суждения, опирается всегда на так называемую полную индукцию. Но сами эти законы мы не делаем объектами общих высказываний. Там, где говорится каждая последовательность, понятие закона ( functio discreta) заменяется понятием становящейся свободной последовательности; напротив, для functiones mixtae и continuae у нас не имеется в распоряжении такого континуума, в который они укладывались бы подобно тому, как укладываются отдельные functiones discretae в континуум вольно становящихся свободных последовательностей. Все это предопределено a priori сущностью npflfcjecca порождения алеф математической первоинтуиции. [42]
Пусть имеется нек-рый напас конечных объектов и условие, для к-рого интуитивно ясно, что капов бы ни был объект из данного запаса, относительно этого объекта можно выяснить, удовлетворяет ли он или нет этому условию. Далее последовательно производятся акты произвольного выбора объектов, пока не будет найден объект удовлетворяющий условию. Этот объект объявляется следующим членом реализации данной свободно становящейся последовательности. Для доказательства теорем о континууме ннтуиционисты рассматривают, напр. Относительно свободно становящихся последовательностей имеет смысл высказывать лишь такие предложения, истинностное значение к-рых может быть установлено на основании исследования конечного числа первых членов реализации и к-рое не меняется, как бы далеко ни продолжалась эта реализация. Однако понятие свободно становящейся последовательности, казавшееся интуитивно ясным самим интуиционистам, оказалось неясным для др. математиков. [43]