Cтраница 3
Пространство Rn ( действительное или комплексное), в котором введено понятие скалярного произведения по формуле ( 5) ( соответственно ( 5)), называется евклидовым n - мерным пространством. [31]
Для введения комплексного евклидова пространства следует ввести в комплексном линейном пространстве понятие скалярного произведения двух его элементов, подчиненное соответствующим четырем аксиомам. [32]
Из предложения 3 вытекает важное следствие, аналога которому нет в римаповой геометрии, основанной на понятии симметричного скалярного произведения. [33]
На протяжении всей книги предполагалось, что читатели знакомы с элементами векторной алгебры; мы уже пользовались понятиями скалярного произведения и произведения матрицы на векторы ( см. разд. В этом разделе будет введен еще ряд операций над векторами, которые широко используются в механике и электромагнитной теории, однако могут быть не очень хорошо знакомы студентам, специализирующимся в области информатики или обработки сигналов. [34]
По свидетельству многих преподавателей старших классов средней школы, из их опыта следует, что этим определением могут весьма эффективно пользоваться уже ученики выпускных классов ( в возрасте 17 лет), овладевшие предварительно понятием скалярного произведения. [35]
Но жизнеспособность этой ветви математики в значительной мере связана с ее многообразными естественнонаучными приложениями. Понятие скалярного произведения, лежащее в основе всей второй части курса, может служить для измерения углов в абстрактных евклидовых пространствах. Но математик, который не знает, что оно же измеряет вероятности ( в моделях квантовой механики), скорости ( в пространстве Минковского специальной теории относительности) и коэффициенты корреляции случайных величин ( в теории вероятности), лишается не только общей широты кругозора, но и гибкости чисто математической интуиции. [36]
Векторные функции гильбертова пространства. Существование понятия скалярного произведения для элементов гильбертова пространства позволяет сформулировать некоторые новые положения. [37]
Существует много типов норм, определенных R, но равенства (1.2) достаточно для целей этой книги. Наряду с понятием нормы в R существует понятие скалярного произведения. [38]
Таким образом, понятия нормы вектора и скалярного произведения векторов оказываются тесно связанными между собой. В связи с этим представляется важным обобщить понятие скалярного произведения на произвольное линейное пространство. [39]
В обычном геометрическом пространстве каждой точке ставится в соответствие ее радиус-вектор и при решении многих задач используется операция скалярного произведения векторов. Аналогично и в пространстве Lz ( V) вводится понятие скалярного произведения двух функций, которое является очень плодотворным при решении многих вопросов. [40]
Наконец, заметим еще, что терминология векторного анализа часто применяется и к так называемому пространству п измерений. Функцию от п независимых переменных рассматривают как скалярное поле, а систему п таких функций - как векторное поле в я-мерном пространстве. Понятие скалярного произведения, а также понятие градиента легко обобщаются на я-мерное пространство, но в других отношениях положение дел там значительно сложнее, чем в трехмерном пространстве. [41]
Все, что сказано пока - по части геометрической интерпретации - никакого существенного значения для случая п 3 не имеет. Можно, конечно, говорить об п-мерном пространстве ( благо, все операции определены для любого п), но это не выходит за рамки малосодержательной условности. Кардинально меняет ситуацию понятие скалярного произведения. [42]
Что касается плоскости, то ах / Зу 4 - jz 6 О еще не конец пути. Беда в том, что язык описания кое-что не ухватывает. Новую точку зрения дает понятие скалярного произведения векторов. [43]
Ареной одномерного анализа, которым мы занимались в первом томе, служило поле R вещественных чисел ( лишь в последнем параграфе гл. Многомерный анализ, к изучению которого мы теперь переходим, имеет своим полем действия евклидовы пространства произвольной конечной размерности. В этом параграфе будет введено понятие n - мерного евклидова пространства вместе с понятиями скалярного произведения, нормы и метрики, на которые оно опирается. [44]