Cтраница 3
Сначала несколько слов об обозначениях. В работе введено понятие ковариантных и коитравариантных тензоров, но все индексы помещены внизу. В ЭГ авторы не придерживались современного правила, согласно которому автоматически предполагается суммирование по повторяющимся индексам. Это правило было введено в 1916 г. и никем иным, как Эйнштейном [ Е27, разд. Позже он как-то сказал в шутку: Я сделал большое открытие в математике - предложил выбросить знак суммирования в том случае, когда суммирование должно производиться по дважды встречающемуся индексу... Не стоит из стремления к исторической правде пользоваться обозначениями ЭГ; вряд ли это пойдет на пользу делу. Все подробности, которые можно найти в указанной книге, будут опущены. [31]
В заключение этого параграфа разъясним смысл часто используемых в физике понятий ковариантности и инвариантности уравнений. В этом же смысле используется и понятие инвариантных тензоров. [32]
В данном параграфе, носящем вспомогательный характер, мы рассмотрим законы преобразования координат в произвольном вещественном евклидовом пространстве Еп. Возникающие при этом наводящие соображения делают более прозрачным понятие тензора, вводимого в следующем параграфе. [33]
Выше для наглядности при определении компонент тензора напряжений была применена декартова прямоугольная система координат. Как видно из рассуждений, это не является ограничением для введения понятия тензора напряжений. [34]
Для изотропных твердых тел понятие давления применимо только в случае всестороннего растяжения и сжатия. В общем же - случае произвольной деформации напряженное состояние тела уже нельзя характеризовать одной скалярной величиной - давлением - и приходится пользоваться понятием тензора упругих напряжений ( см. Упругие волны. [35]
Многие задачи механики, теоретической физики и других наук приводят к понятию тензора. Это понятие имеет более сложный характер, нежели понятие вектора. Определение вектора как направленного отрезка не дает возможности естественным обобщением перейти к понятию тензора. Поэтому постараемся дать такое определение вектора, эквивалентное прежнему, чтобы обобщение его привело к понятию тензора, которое нельзя пояснить при ло-мощл простого геометрического образа. [36]
Многие задачи механики, теоретической физики и других наук приводят к понятию тензора. Это понятие имеет более сложный характер, нежели понятие вектора. Определение вектора как направленного отрезка не дает возможности естественным обобщением перейти к понятию тензора. Поэтому постараемся дать такое определение вектора, эквивалентное прежнему, чтобы обобщение его привело к понятию тензора, которое нельзя пояснить при помощи простого геометрического образа. [37]
Не останавливаясь на точном математическом определении тензора, отметим, что он является инвариантным объектом, не изменяющимся при переходе от одной системы координат к другой. Изменяются по определенному тензорному закону при таком переходе только его компоненты. Более подробно с понятием тензора можно познакомиться в разд. [38]
Именно параллельное рассмотрение указанных интерпретаций в наибольшей мере способствует эффективному построению линейной алгебры. Например, то, что размерность образа линейного оператора не превосходит размерности его области определения, отнюдь не очевидно геометрически, но очевидно алгебраически - ранг матрицы не превосходит количества ее строк. С другой стороны, то, что ранг произведения операторов не превосходит рангов сомножителей, почти очевидно геометрически ( вспомним рисунок), но далеко не очевидно алгебраически. Идея параллельного рассмотрения геометрической и алгебраической интерпретации вектора как раз и лежит в основе понятия тензора. [39]
Многие задачи механики, теоретической физики и других наук приводят к понятию тензора. Это понятие имеет более сложный характер, нежели понятие вектора. Определение вектора как направленного отрезка не дает возможности естественным обобщением перейти к понятию тензора. Поэтому постараемся дать такое определение вектора, эквивалентное прежнему, чтобы обобщение его привело к понятию тензора, которое нельзя пояснить при ло-мощл простого геометрического образа. [40]
Многие задачи механики, теоретической физики и других наук приводят к понятию тензора. Это понятие имеет более сложный характер, нежели понятие вектора. Определение вектора как направленного отрезка не дает возможности естественным обобщением перейти к понятию тензора. Поэтому постараемся дать такое определение вектора, эквивалентное прежнему, чтобы обобщение его привело к понятию тензора, которое нельзя пояснить при помощи простого геометрического образа. [41]
В дальнейших примерах мы ограничим линейные преобразования координат лишь теми преобразованиями, которые мы рассматривали в [20] и которые соответствуют переходу от одной декартовой системы к другой. Такие преобразования называются обычно ортогональными преобразованиями трехмерного пространства. Для них, как мы видели выше, контрагредиентное преобразование А () - - 1 совпадает с A w исчезает разница ковариантного и контравариантного вектора. Точно так же для этих преобразований координат мы будем очевидно иметь одно только понятие тензора второго ранга. [42]
Для описания геометрических, или физических, объектов или процессов, происходящих в природе, используются геометрические или физические величины, которые обычно рассматриваются в той или иной произвольно выбранной системе координат. Так как реальные объекты и процессы существуют, очевидно, независимо от выбора системы координат, то и геометрические и физические величины, описывающие эти процессы, не должны зависеть от выбранной системы координат. Таким образом, геометрическая, или физическая, величина, должна быть определена в каждой системе координат и должна задаваться в виде некоторой совокупности величин ( компонент), но как математический объект должна быть независима от выбора системы координат. Это возможно в том случае, если задан закон преобразования компонент при переходе от одной системы координат к другой. В общем случае абстрактные математические объекты, инвариантные относительно преобразования координат, называются тензорами. Следовательно, геометрические ( физические) величины являются тензорами. Введем понятие тензора в наиболее простом случае, а именно, в прямоугольной декартовой системе координат. [43]