Cтраница 3
Матрицу рассматривают как математический символ, над которым можно производить действия, аналогичные действиям над обычными числами. Совершенно так же, как с помощью двух вещественных чисел приходят к построению чисел новой природы, а именно комплексных чисел вида а jh, так и с помощью т х п чисел, расставленных в виде определенной таблицы, приходят к понятию нового числа - матрицы и к понятию алгебры матриц. [31]
В последнем, третьем, параграфе нами рассмотрен более детально вопрос о представлениях периодических алгебр. Под этим термином мы понимаем алгебры, все элементы которых являются корнями каких-нибудь полиномов с коэффициентами из основного поля. Понятие периодических алгебр аналогично понятию периодических групп, представления которых впервые изучались Бернсайдом и Шуром. Нашей задачей было найти аналоги соответствующих теорем Бернсайда - Шура. [32]
Если логическая часть схемы выполняется электромеханическими реле, то рассмотренные логические операции можно осуществить путем соединения их контактов, как показано на рис. В. В общем случае логическая часть устройства может быть весьма сложной. Начальным понятием алгебры ( математической) логики является понятие высказывания, под которым понимают любое утверждение, которое оценивается только с точки зрения его истинности или ложности. Высказывание может быть только истинным или только ложным. [33]
Основная цель показать, какой смысл придается понятию числа в современной математике. Изложены основные понятия / j - адического и нестандартного анализа, объяснено, что такое кватернионы и числа Кэли. Изложение подводит читателя к понятию алгебр фон Неймана, а также к идее суперматематики исчисления антикомму тирующих переменных. [34]
Формализация этого отношения эквивалентности приводит к введенному Хадвигером [24] понятию алгебры многогранников, рассмотрению которого и посвящен этот параграф. [35]
Принцип абстракции дает пользователю возможность работать с программной конструкцией, зная только синтаксис и семантику ее операций и не вдаваясь в детали ее реализации. Это, в свою очередь, позволяет производить модуляризацию программ таким образом, что конкретная реализация модуля скрывается от пользователя и может быть изменена, если статистика работы с модулем показывает, что эффективнее будет другая его реализация. Выделенное различие между абстрактным и конкретным типами данных побуждает связать понятия абстрактного типа данных с понятиями теории, а конкретного типа данных - с понятиями алгебры. По аналогии с моделями теорий алгебры, выбираемые для построения конкретных типов данных, принято называть моделями ( абстрактного) типа данных. [36]
В дальнейшем Ловер заметил, что топосы хорошо подходят для построения категорных основ теории множеств. Это было сделана в начале 60 - х годов, и с этих пор категорный взгляд на основания теории множеств, логики и всей математики начал активна внедряться. Заменяя здесь категорию множеств произвольным топосом, мы существенна расширяем понятие алгебры. [37]
Если В 0 1, то FB-алгсбра называется примитивной. Серви [ 449 - 4501 строит топологическую теорию булевых алгебр с операторами k, удовлетворяющими условиям &0 0, xkx. Устанавливается связь с алгебрами импликаций, приводятся различные примеры полубулевых алгебр. Ньюмана, алгебры Брауэра, автометризованные структуры, коммутативные / - группы и др., является понятие метрической алгебры, которая определяется как коммутативная алгебра Л, , 0 с антисимметричным, рефлексивным отношением, наделенная метрикой. [38]
Во многом теории в обычном и суперслучае совершенно параллельны. Однако супертеория имеет не только то преимущество, что она носит более общий характер. Оказывается, учет знаков позволяет рассмотреть как бы Зазеркалье обычного математического мира. Основная идея при этом состоит в том, что роль индукционного перехода осуществляет переход от супералгебры к ее четной части, которая является обычной алгеброй. Смысл этой идеи еще и в том, что понятие супералгебры объединяет в одно целое понятие алгебры и модуля над ней ( см. 1.5), так как нечетная часть является модулем над четной. [39]
Поэтому при рассмотрении вопросов общей алгебры, связанных с идеями конструктивности, естественно встает вопрос: какую алгебру следует считать конструктивной. Ответ более или менее однозначный - алгебра 31 конструктивна, если ее основное множество А состоит из конструктивных элементов и конструктивно задано, а основные операции fi также являются конструктивными. Однако здесь скрывается некоторая неопределенность. Как известно, понятие конструктивности необходимо уточнить, а это уточнение можно производить весьма различными способами, начиная с классических уточнений Геделя - Черча - Клини и кончая бо-л § е новыми А. А. Маркова [10], А. Н. Колмогорова [3] и рядом других. Соответственно этому и понятие конструктивной алгебры допускает ряд возможных уточнений. [40]
В первом параграфе дается основное описание общего понятия многообразия, во втором делается то же самое для групп Ли, и локальных, и глобальных. Практически группы Ли возникают как группы симметрии некоторого объекта, или, более точно, как локальные группы преобразований, действующих на некотором многообразии; в § 2 дается краткий обзор этого подхода. Наиболее важное понятие всей теории - понятие векторного поля, которое выступает как инфинитезимальная образующая некоторой однопараметрической группы Ли преобразований. Это понятие является фундаментальным и для развития теории групп Ли, и для приложений к дифференциальным уравнениям. Оно играет решающую роль в замене сложных нелинейных условий симметрии некоторого объекта относительно группы преобразований легко проверяемыми линейными условиями, отражающими его инфинитезимальную симметрию относительно соответствующих векторных полей. Эта техника будет глубоко исследована для систем алгебраических и дифференциальных уравнений во второй главе. Понятие векторного поля приводит затем к понятию алгебры Ли, которую можно представлять себе как инфинитезимальную образующую самой группы Ли. Соответствующая теория развита в § 1.4. Последний параграф этой главы дает краткое введение в дифференциальные формы и интегрирование на многообразиях. [41]