Cтраница 2
Например, пространство всех действительных чисел является пополнением пространства рациональных чисел. [16]
Пространство С ( Г), рассматриваемое как пополнение пространства СГ ( Г), по норме ( 67) полно. [17]
И поле R, и поле Qp являются пополнениями пространства Q, оба содержат Q в качестве всюду плотного подмножества и поэтому являются сепарабельными пространствами. [18]
Отделимое пополнение произведения равномерных пространств изоморфно произведению отделимых, пополнений пространств сомножителей. [19]
Пространство ( Q, Ж, Р) называется пополнением пространства ( Q, , Р), ( Рассматриваемая здесь операция пополнения ничего общего не имеет с операцией пополнения в теории метрических и равномерных пространств. [20]
Существенным для последней части курса является введение пространства L2, как пополнения пространства непрерывных функций в соответствующей метрике. Такой подход к пространству L2 является достаточно коротким. Его недостаток, состоящий в том, что исходное пространство непрерывных функций дополняется некоторыми идеальными элементами, уменьшается за счет доказательства того, что всякая кусочно-непрерывная функция с интегрируемым квадратом ( вообще говоря, в несобственном смысле) может быть рассматриваема как элемент пространства L2 Этого вполне достаточно для широкого круга прикладных задач. [21]
Далее, используя тот факт, что пространство, получаемое из одноточечного пополнения пространства Е выкидыванием В, стягиваемо, мы можем отправить М на бесконечность посредством Собственного отображения М У. [22]
Теорема 3.2. Если норма II измерима на пространстве Е0 и Е - пополнение пространства Е0 по норме -, то мера р порождает счетно-аддитивную борелевскую меру на пространстве Е с нормой 11 - 11, и, наоборот, если мера р порождает счетно-аддитивную меру на пространстве Е, то норма II II измерима. [23]
Так как семейство функции 1ь ( 1) образует несчетное ортонормалыюе множество, то пополнение пространства F по норме, порожденной этим скалярным произведением, является несепарабельным гильбертовым пространством. Это пространство мы будем обозначать через АР, поскольку оно в точности совпадает с пространством почти периодических функций. [24]
Тогда форма [ х, у ] может быть непрерывно относительно нормы 11 - 11 - продолжена на пополнение пространства ф по этой норме; ф по отношению к продолженной форме [ х, у ] есть пространство Крейна. [25]
Таким образом, множество Z в данном примере состоит из двух точек оо и - оо и процесс пополнения пространства X сводится к добавлению двух точек. Построенное пространство иногда называют расширенной числовой прямой. [26]
Тогда пространство L2 окажется состоящим из функций с интегрируемым квадратом и тех же абстрактных элементов, необходимо возникающих при процессе пополнения пространства RLZ ввиду его неполноты. Эта условная замена элементов пространства RL % [ a, b ] их представителями отражает точное утверждение, что операции над классами эквивалентных функций сводятся к соответствующим операциям над их представителями в вышеуказанном смысле. [27]
Найдем общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве 3 - Достаточно найти общий линейный функционал ( /, g) на нормированном пространстве Qm - пополнении пространства 3 по норме glim - Пространство Qm состоит из некоторых непрерывных функций g ( s), определенных в области 15 К т; оно замкнуто относительно равномерной сходимости. [28]
Так как изометричные метрические пространства с точки зрения теории метрических пространств считаются одинаковыми, то любое метрическое пространство, изометричнсе ( У, ру), тоже будем называть пополнением метрического пространства ( X, рх) и пополнение пространств), изометричного X, будем считать пополнением X, Как будет поксюапо и § 18, из общих соображений следует, что пополнение метрического пространства, если оно существует, единственно с точностью до изоморфизма. [29]
Нормы ср р не убывают и согласованы. Пополнение пространства З () по норме ] ср р есть совокупность всех аналитических функций в круге z ар, непрерывных в замкнутом круге z - ap t пересечение этих совокупностей совпадает с пространством 3 () - Таким образом, 3 () есть полное счетно-нормированное пространство. [30]