Cтраница 3
Прежде чем окончательно оставить бесконечномерную теорию, мы хотели бы обсудить еще один вопрос. Если В - пополнение пространства Н по измеримой норме, то, как мы знаем из теоремы Гросса и из § 4.7, стандартная часть этого блуждания - это броуновское движение х в пространстве В. Проблема в том, что мера v не имеет стандартной части на В и что на самом деле не существует формы Дирихле на 5, отвечающей процессу я. Это потребовала бы обобщения теории, развитой в этой главе, так как мы всегда предполагали, что исходная мера имеет стандартную часть. [31]
Случай неполного пространства X легко сводится к уже рассмотренному. Действительно, если ввести пополнение пространства X, то замыкания ( см. теорему V.8.2) операторов К и К 1 будут взаимно обратны, а замыкание оператора Я будет также связано с оператором И условиями I и II с той же самой постоянной TI и новой постоянной %, сколь угодно близкой к старой. [32]
II II 2 если она по Дн й из них сходится к нулю, то в силу их согласованности сходится и по другой норме к нулю, а следовательно, сходится к нулю и по норме 3; обратное очевидно. В данном случае пространство Ф3, полученное пополнением пространства Ф по норме 3, взаимно однозначно отображается Е Ф1 и в Ф2, причем при этих отображениях Ф остается на месте. [33]
Доказать, что всякая сингулярная обобщенная функция является пределом регулярных. В этом смысле пространство обобщенных функций является пополнением пространства обычных функций. [34]
Пусть X - тихоновское пространство и GIL - равномерность, порожденная семейством всех покрытий пространства X, в которые можно вписать счетное нормальное покрытие ( см. упр. Докажите, что пространство, где ( Х, 1 () - пополнение пространства ( X, fyf), является вещественной компактификацией по Хьюитту пространства X ( ср. [35]
Однако это затруднение можно преодолеть, если включить в пространства Ф, U пределы всех возможных фундаментальных последовательностей гладких элементов из этих пространств. Такое включение в метрическое пространство идеальных элементов ( пределов фундаментальных последовательностей) носит название пополнения пространства. [36]
Равномерное пространство ( X, Ж) предкомпактно тогда и только тогда, когда каждая сеть в X обладает подсетью Коши. Поэтому, для того чтобы ( X, Ж) было пред-компактным, достаточно, чтобы некоторое пополнение пространства ( X, Ж) было компактным, и необходимо, чтобы каждое пополнение пространства ( X, Ж) было компактным. [37]
Равномерное пространство ( X, Ж) предкомпактно тогда и только тогда, когда каждая сеть в X обладает подсетью Коши. Поэтому, для того чтобы ( X, Ж) было пред-компактным, достаточно, чтобы некоторое пополнение пространства ( X, Ж) было компактным, и необходимо, чтобы каждое пополнение пространства ( X, Ж) было компактным. [38]
Напомним, что метрическое пространство называется предком-пактным, если для любого г О в нем существует конечная е-сеть. В случае полноты пространства предкомпактность равносильна компактности. Пополнение предкомпактного пространства компактно. [39]
Легко видеть, что все аксиомы нормы в данном случае выполняются. Присоединим к нему все предельные элементы. Пополнение пространства W p ( Q) обозначается Wp ( Q) и называется пространством Соболева. [40]
Замечание 4.4. Свойство полноты имеет фундаментальное значение для многих рассуждений, проводимых в последующих главах. Пространство, не являющееся полным, может быть пополнено так называемыми особыми элементами так, чтобы оно стало полным. Эта процедура аналогична процедуре пополнения пространства рациональных чисел иррациональными числами. Однако в общем случае трудно определить характер этих особых элементов. Довольно простой и интуитивно ясный случай пополнения метрического пространства мы встретим в гл. [41]
Попутно мы доказали, что верен интересный теоретико-гомотопический факт, который грубо можно сформулировать так. X, что ( i) когомологии mod р группы л тривиальны; ( И) группа л действует тривиально иа когомологиях modp пространства X. Тогда f индуцирует отображение р-адического пополнения пространства X, гомотопное тождественному. [42]
Надо только заметить следующее: если G - отделимое локально выпуклое пространство, ( гп) - слабая последовательность Коши в G и Р - множество всех точек zn, то Р предкомпактно тогда и только тогда, когда ( zn) является последовательностью Коши. Действительно, если ( zn) - последовательности Коши, то, очевидно, Р - предкомпактное множество. С другой стороны, если Р предкомпактно, то его замыкание Р в пополнении G пространства G является компактным. [43]
Это не вписывается в обычные идеи о данных типа списков, но разве это плохо. Нет, ибо можно показать, что тип D00 действительно существует. Он содержит все обычные конечные списки, а также много очень интересных и полезных пределов последовательностей из конечных списков. Можно сказать, что D00 есть топологическое пополнение пространства конечных списков, и мы можем вообще не использовать предельных точек, если нам не видно их какое-либо преимущество. [44]
Здесь имеются два приемлемых пути. Самое простое было бы ограничиться подходящими малыми открытыми подмножествами евклидова пространства. Тогда фактормногообразие тоже можно сделать подмножеством некоторого евклидова пространства посредством выбора на нем новых независимых и зависимых переменных. Однако при таком подходе конструкции становятся весьма неприятным образом координатно зависимыми и много теряют в своей изначальной простоте. Более абстрактный подход, принятый нами, состоит в обобщении наших конструкций пространств струй, продолжений и дифференциальных уравнений на произвольные гладкие многообразия. Он осуществляется пополнением обычных пространств струй так, что они включают функции, определенные на произвольных р-мерных подмногообразиях. Эти функции могут быть многозначными или иметь бесконечные производные. Хотя этот метод требует изрядного уровня абстракции и математической изощренности, чтобы дать определения, главные результаты об инвариантных относительно группы решениях сохраняют свой сильный геометрический дух и в том, что касается доказательств, становятся практически тривиальными. Более сложная технически локальная координатная картина непосредственно получается тогда из этой абстрактной переформулировки процедуры редукции. [45]