Cтраница 3
Аристотеля, исторически она возникла позднее - по-видимому, в школе стоиков ( см. Стоицизм), к-рые уже изучали логич. Венна, Порецкого и др. - лишь как одна из возможных интерпретаций логики классов, к-рая рассматривалась как соответствующая силлогистике Аристотеля. [31]
Некоторые разделы современной алгебры посвящены изучению алгебраических структур, возникших в математической логике. Работы этого рода в России были начаты в Казанском университете, сохранявшем долгое время новаторские традиции Лобачевского. Здесь Платон Сергеевич Порецкий ( 1846 - 1907), в частности, прочитал в 1887 / 88 г. первый в нашей стране курс математической логики. [32]
Шредера, в которых Порецкий обвиняет Шредера в ошибках и догматизме, а Шредер парирует эти обвинения. Так как Порецкий критикует Шредера, то для понимания этой критики нужно начать с изложения работ Шредера. Заметим, что Порецкий не был знаком с основной работой Шредера - с его Алгеброй логики [93], в которой точка зрения Шредера изложена с наибольшей ясностью. [33]
Порецкий, очевидно, не знал ( ср. Необходимое, как ошибочно думает Порецкий, допущение и х дает только один из бесконечного в общем случае числа корней, и при том, когда мы понимаем под х некоторый определенный, уже иным способом данный, класс - именно этот, данный, класс. Сделанный моему методу упрек в том, что он формалистичен, недостаточно близок к естественному мышлению ( стр. Этим отнюдь не отрицаются заслуги автора как первого исследователя и творца в области логики в большом славянском государстве ( [94], стр. А - В, Мы видим, таким образом, что вопрос о том, что значит решить логическое уравнение, действительно, представлял существенные трудности и мог решаться - да и решался на самом деле - разными авторами по-разному. [34]
Во втором томе своей Алгебры логики Шредер специально остановился на методах Порецкого, привел ряд задач, предложенных и решенных Порецким, и написал возражения на его критику. Так как мы во всех подробностях осветили критику Порецкого, то должны предоставить слово и Шредеру. [35]
Само собою разумеется, что задача, поставленная Порецким, имеет не меньший смысл, чем задача, которую решал Шредер. С точки зрения логики, это даже более общая и важная задача: ведь основная задача логики и состоит как раз в выводе логических следствий ( см. гл. Однако обвинения в ошибке, которую усмотрел у Шредера Порецкий, являются неоправданными. [36]
Книга посвящена графическому аппарату математической логики-диаграммам Венна, их истории и применению. Автор показывает, что диаграммы Бенна могут облегчать решение различных задач математической логики и задач, связанных с построением надежных автоматов из не вполне надежных элементов. В книге разбирается ряд задач, сформулированных Булем, Джевонсом, Порецким и другими логиками, и показывается развитие метода диаграмм в связи с задачами логики высказываний и логики одноместных предикатов, а также в связи с проблемами теории нейронных схем. [37]
Признание заслуг Шредера сопряжено, однако, у Порецкого с обвинениями Шредера в излишней математичности и даже формализме. Тем не менее - пишет Порецкий - нельзя не признать за способом Шредера довольно крупного недостатка, это именно; формальность и искусственность решения. Формула Шредера не выведена, как бы следовало, из анализа существа дела, а искусственно подогнана и оставляет место для сомнений в том, не заключается ли в ней лишних членов ( [28], стр. Порецкий - способа Шредера заключается в слишком формальном, слишком общем, слишком математичном решении задачи. У него речь идет об одной внешней оболочке дела, сущность которого совершенно игнорируется; кроме того, формула Шредера не представляет гарантий относительно отсутствия в ней лишних членов ( [ 28, стр. [38]
Лишь для них допускают точную формулировку интересующие математиков проблемы доказуемости и непротиворечивости в аксиоматич. Идея метода формализации доказательств принадлежит нем. Порецким, Шредером, Фреге, Пеана и др. В паст, время метод формализации доказательств является мощным орудием исследования в проблемах обоснования математики. [39]
Всякой релейной структуре ( за исключением мостовых структур) взаимно однозначно соответствует логич. Алгебра логики), а именно: для контактных схем буквам выражения соответствуют контакты, а знакам операций - паралл. Именно в этом заключается большая роль ма-тематич. В них, как правило, входят: 1) отыскание всех импли-кантов простых заданной функции ц 2) построение ( или выделение) таких дизъюнкций простых имшшкантов, к-рые эквивалентны исходной ф-ции п содержат наименьшее ( по сравнению с др. такими дизъюнкциями) число логич. К таким методам относятся методы Квайна - Маккласки, Нельсона, Блэка - Порецкого, Гаврилова и др. Поскольку число шагов в этих алгоритмах чрезвычайно быстро растет с ростом числа перем. ЭВМ, были созданы практические методы упрощения ф-ций. К ним относятся карточные методы и методы, основанные на отыскании не всех простых импликантов заданной ф-ции, а лишь тех, из к-рых можно построить одну из тупиковых ( неизбыточных) форм. [40]
Всякой релейной структуре ( за исключением мостовых структур) взаимно однозначно соответствует логич. Алгебра логики), а именно: для контактных схем буквам выражения соответствуют контакты, а знакам операций - паралл. Именно в этом заключается большая роль ма-тематич. В них, как правило, входят: 1) отыскание всех импли-кантов простых заданной функции и 2) построение ( или выделение) таких дизъюнкции простых нмпликантов, к-рые эквивалентны исходной ф-ции и содержат наименьшее ( по сравнению с др. такими дизъюнкциями) число логич. К таким методам относятся методы Квайна - Маккласки, Нельсона, Блэка - Порецкого, Гаврилова и др. Поскольку число шагов в этих алгоритмах чрезвычайно быстро растет с ростом числа порем, в ф-цнн и уже при 8 - 10 перем. ЭВМ, были созданы практические методы упрощения ф-ций. К ним относятся карточные методы и методы, основанные на отыска-тш не всех простых импликантов заданной ф-цин, а лишь тех, из к-рых можно построить одну из тупиковых ( неизбыточных) форм. [41]
Развитие опытного естествознания н математики, усилившееся в 17 в. Бэкон, Декарт, Паскаль, авторы Пор-Рояля логики, И. Лейбница состояла в том, чтобы свести к вычислению не только математические, но и любые умозаключения. Буля, де Моргана, Джевонса, Шредера, Порецкого, Пирса, Фреге, Пеано и др. были заложены основы первых совр. [42]
Работы логиков XIX века, к числу которых принадлежит и Венн, и теперь представляют еще интерес потому, что эти логики пытались ответить прежде всего на вопрос о том, какую именно информацию мы можем извлечь - и можем ли - из данных посылок. Если нам рассказано то-то и то-то о таких-то классах, то что именно следует отсюда в применении только к таким-то классам, какие заключения, и притом именно такого-то вида, мы можем сделать о таких-то классах. Именно на эти вопросы и должны были давать ответ алгебраические и геометрические методы этих логиков, именно они и составляют основную проблематику метода исключения неизвестных. Последний поэтому представляет логический интерес и в наши дни. А задачи, приводившиеся в этой связи логиками XIX столетия, заслуживают поэтому и теперь построения - там, где оно возможно - алгорифмических способов их решения. Особый интерес в этой связи представляет то обстоятельство, что увеличение количества информации, связанной с сигналами, определяющими ячейку в диаграмме Венна ( например, добавледие информации, относящейся к порогам нейрона), позволяет расширить самую проблематику вывода логических следствий - позволяет включить в нее, например, вопросы о том, как строить надежные нейронные схемы из не вполне надежных элементов; как обеспечить правильный ответ автомата на некоторый сигнал, даже в случае не вполне исправной работы его элементов. Эти и многие другие аналогичные вопросы, практическое значение которых достаточно ясно, представляют собой наилучшее обоснование того, сколь существенную роль может иметь и в наши дни дальнейшее развитие, уточнение и совершенствование того круга идей, над которыми бились уже Буль, Джевонс, Шредер, Порецкий, Венн, изучение работ которых и до сих пор является поэтому источником новых идей в математической логике и ее все более и более многочисленных и важных применениях. [43]