Порция - поверхность
Cтраница 1
Порция рациональной биквадратичной поверхности определяется аналогичным образом. Следует заметить, что, хотя параметрические кривые и const и v const являются коническими сечениями, эти поверхности в общем случае не являются поверхностями второго порядка. [1]
Параметрически заданная порция поверхности. [2]
Уравнение такой порции поверхности может быть выведено так же, как и формула (7.5), за исключением того, что теперь используется обобщенная интерполяция Эрмита, а не обобщенная линейная интерполяция. [3]
Этот тип порций поверхности также обладает значительней общностью и включает все квадратичные поверхности как частные случаи. Однако он не может быть выражен в форме (7.16), так как только угловые точки и угловые градиенты могут выбираться произвольно, но не угловые векторы кручения. [4]
Если используются только порции кубической поверхности, то видно, что Я ( и) может быть любой положительной константой, а ( v) - любой линейной функцией v.1) Важно понимать, что когда (7.30) используется как условие гладкости, векторы градиента в направлении границ порций не обладают непрерывностью при переходе через границу. Поэтому может быть отброшено условие коллинеарности ребер многогранника, сходящихся на границе. Используя новый, более общий критерий непрерывности градиента, можно построить непрерывную гладкую поверхность, у которой составные границы порций будут непрерывными как в и, так и в - направлениях, но их градиенты - разрывными во всех углах порций. Применяя (7.30) к любому узлу сетки, можно, однако, заключить, что касательные всех четырех границ, сходящихся в этом узле, должны быть компланарны. [5]
Напомним, что порция кубической поверхности Безье основана на многограннике, определенном в точности 16 вершинами. Одна порция такого рода может представлять только элемент поверхности с весьма простой топографией. Более того, как уже было показано, порции поверхности Фергюсона и порции, основанные на кубических сплайнах, математически эквивалентны порциям поверхности Безье и, следовательно, имеют те же самые ограничения. [6]
Заметим, что теперь порция поверхности полностью определена через векторы г, ги, гр и г в ее четырех углах. Порцию поверхности этого типа часто называют определенной тензорным ( или декартовым) произведением. [7]
Вид характеристического многогранника и порции аппроксимируемой поверхности показаны на рис. 1.17. Параметры аппроксимирующих поверхностей выбираются из условия не только непрерывности поверхности, но и непрерывности производных к поверхности, по крайней мере градиента поверхности при переходе от одной порции к другой. [8]
Можно значительно упростить уравнение порции поверхности по Кунсу (7.12) подходящим определением граничных кривых и градиентов в ортогональных к ним направлениях. [9]
Таким образом, для заданной порции поверхности Безье вида, рассмотренного в разд. [10]
Очевидно, что использование рациональных полиномиальных порций поверхности обеспечивает значительную гибкость. Здесь возникает только одна проблема, состоящая в том, что сама общность этих функций создает трудности в разработке практической системы определения поверхностей. Желательно, чтобы любая такая система могла бы обслуживаться не математиком, но отнюдь не ясно, каким способом все предоставляемые степени свободы включить в систему так, чтобы каждая имела достаточно очевидный геометрический смысл. [11]
Теперь исследуем связь между определениями порции поверхности по Безье и Фергюсону. [12]
 |
Порции поверхности, получаемые линейной интерполяцией по парам противолежащих границ. [13] |
Их сумма г га представляет порцию поверхности, каждая из границ которой является суммой заданной граничной кривой и прямолинейного отрезка, соединяющего концевые точки этой кривой. [14]
Подобный анализ возможно сделать и для порций полиномиальной поверхности более высокого порядка, но вычисления для порций рациональных полиномиальных поверхностей обычно требуют численного интегрирования, поэтому здесь прямое численное определение объемов будет, вероятно, занимать такое же время. [15]
Страницы: 1 2 3 4