Порция - поверхность
Cтраница 4
Можно показать, что в плоском кубическом сегменте петли не будет, если каждая из проекции г ( 0) и г ( 1) на направление хорды не превосходят утроенной длины хорды. Для неплоского сегмента понятие петли менее определенно; в какой-нибудь проекции такой кривой всегда будет петля. Тем не менее могут возникнуть проблемы в определении порции поверхности, если предыдущие ограничения нарушены для какой-либо ее граничной кривой. [46]
 |
Характеристический многогранник порции кубической поверхности. [47] |
Порция в некотором смысле аппроксимирует многогранник, хотя только угловые точки г 0, г03, г30 и г33 являются у них общими. Заметим, что обозначение rtj отличается от гтп последнего раздела тем, что каждая точка rlf лежит на характеристическом многограннике, а не на самой поверхности. Форма многогранника дает конструктору хорошее представление об общей форме соответствующей порции поверхности, и изменение одного или более векторов r ( j модифицирует ее предсказуемым образом. Не требуется задания каких-либо векторов градиента и кручения. [48]
Изложенный ниже подход применен в системе конструирования поверхностей UNISURF, разработанной Безье ( 1972) для автомобильной фирмы Рено. Крупное преимущество этой системы в том, что конструктору не нужно задавать для проектируемой порции поверхности никаких векторов градиента или кручения. Таким образом, отпадает необходимость в весьма неудовлетворительном упрощающем предположении Фергюсона о том, что гцг 0 в углах порции поверхности. Нужно знать только векторы положения rtj 16 вершин многогранника. Их геометрическая интерпретация совершенно очевидна, и поэтому система вполне подходит для использования оператором без специальной математической подготовки. [49]
Напомним, что порция кубической поверхности Безье основана на многограннике, определенном в точности 16 вершинами. Одна порция такого рода может представлять только элемент поверхности с весьма простой топографией. Более того, как уже было показано, порции поверхности Фергюсона и порции, основанные на кубических сплайнах, математически эквивалентны порциям поверхности Безье и, следовательно, имеют те же самые ограничения. [50]
С появлением ЭВМ были разработаны более универсальные приемы, в основном отошедшие от традиционного подхода графических методов. Прежде для представления поверхности нужно было построить некоторое множество продольных гладких кривых, проводя их через точки, определяемые предварительно построенным набором поперечных сечений; этот процесс называется плазо-вым методом построения поверхностей. Во многих новых методах поперечные и продольные кривые играют одну и ту же роль, разбивая поверхность на некоторую совокупность криволинейных четырехугольных порций. Каждую из этих порций поверхности можно однозначно описать с помощью математической формулы. [51]
Если поверхность задана порциями, образующими ее грани, то при определенном типе сложности поверхности ( как говорят, достаточно хорошем поведении) мы можем рассчитать, как проходят по ней геодезические. Так, в случае плоских порций поверхности мы имеем задачу, рассмотренную в настоящей работе, и участки геодезических на каждой грани являются в этом случае прямыми линиями. Поэтому нам было бы желательно обобщить локальный критерий оптимальности, состоящий в том, что геодезические, пересекающие границы порций поверхности, при развертке переходят в прямые: развертки геодезических только локально ( вблизи границ порций поверхности) должны быть прямыми. А это есть просто условие на непрерывность изменения касательной вдоль геодезической. Метод непрерывный Дейкстра позволяет распространять фронт волны поперек границ порций поверхности, не нарушая критерия локальной оптимальности. Детализация рассмотренного обобщения требует некоторой дополнительной работы. [52]
Если поверхность задана порциями, образующими ее грани, то при определенном типе сложности поверхности ( как говорят, достаточно хорошем поведении) мы можем рассчитать, как проходят по ней геодезические. Так, в случае плоских порций поверхности мы имеем задачу, рассмотренную в настоящей работе, и участки геодезических на каждой грани являются в этом случае прямыми линиями. Поэтому нам было бы желательно обобщить локальный критерий оптимальности, состоящий в том, что геодезические, пересекающие границы порций поверхности, при развертке переходят в прямые: развертки геодезических только локально ( вблизи границ порций поверхности) должны быть прямыми. А это есть просто условие на непрерывность изменения касательной вдоль геодезической. Метод непрерывный Дейкстра позволяет распространять фронт волны поперек границ порций поверхности, не нарушая критерия локальной оптимальности. Детализация рассмотренного обобщения требует некоторой дополнительной работы. [53]
Страницы: 1 2 3 4