Порция - поверхность
Cтраница 3
Сетка кривых делит поверхность на совокупность топологически прямоугольных порций, каждая из которых ограничена парой - кривых и парой - кривых, как показано на рис. 7.1. Допустим, что и и v изменяются в пределах от 0 до 1 вдоль соответствующих границ; тогда r ( u v) 0u v, представляет внутренность порции поверхности, г ( и, 0), г ( 1, v), г ( и, 1) и г ( 0, о) представляют четыре известные граничные кривые. [31]
Заметим, что теперь порция поверхности полностью определена через векторы г, ги, гр и г в ее четырех углах. Порцию поверхности этого типа часто называют определенной тензорным ( или декартовым) произведением. [32]
Из свойств порций поверхностей Безье известно ( см. разд. [33]
Теперь положения углов порций задаются с самого начала, а векторы касательных в углах определяются в результате построения сетки сплайновых кривых. Для полного определения порции поверхности, подогнанной в каждой ячейке сетки, достаточно задать векторы кручения rav в углах порции. Их можно определить таким образом, что вся составная поверхность будет обладать непрерывностью кривизны в том смысле, что г () непрерывно поперек всех о-границ и наоборот. Здесь используется процедура, сходная с той, набросок которой дан в разд. Фергюсона с непрерывной кривизной; фактически такие поверхности являются просто частными случаями сплайновых поверхностей, для которых значения параметров и v сдвигаются и масштабируются так, что они изменяются от О до 1 на каждой порции. [34]
Каждая граница порции есть рациональная кубическая кривая, но противоположные границы теперь определяются различными наборами весов. Следовательно, приложение теории порций поверхности по Кунсу из разд. Однако здесь нас могут выручить однородные координаты. [35]
Если поверхность задана порциями, образующими ее грани, то при определенном типе сложности поверхности ( как говорят, достаточно хорошем поведении) мы можем рассчитать, как проходят по ней геодезические. Так, в случае плоских порций поверхности мы имеем задачу, рассмотренную в настоящей работе, и участки геодезических на каждой грани являются в этом случае прямыми линиями. [36]
Изложенный ниже подход применен в системе конструирования поверхностей UNISURF, разработанной Безье ( 1972) для автомобильной фирмы Рено. Крупное преимущество этой системы в том, что конструктору не нужно задавать для проектируемой порции поверхности никаких векторов градиента или кручения. Таким образом, отпадает необходимость в весьма неудовлетворительном упрощающем предположении Фергюсона о том, что гцг 0 в углах порции поверхности. Нужно знать только векторы положения rtj 16 вершин многогранника. Их геометрическая интерпретация совершенно очевидна, и поэтому система вполне подходит для использования оператором без специальной математической подготовки. [37]
Как мы видели, подход Кунса позволяет интерполировать каждую ячейку заданной топологически прямоугольной криволинейной сетки порцией поверхности. Выбрав правильный вид порций, можно быть уверенным, что полученная составная поверхность, кроме простой непрерывности, имеет любой желаемый порядок гладкости. [38]
Разумеется, эти скалярные функции являются рациональными кубическими функциями. Несложные выкладки показывают, что они удовлетворяют условиям (7.7) и (7.10), которые ранее налагались на функции смешения для порции поверхности с заданными граничными кривыми и производными по направлениям, перпендикулярным границам. [39]
В-сплайновые кривые были введены в разд. Они связаны с поверхностями, определяемыми В-сплайнами, точно так же, как кривые Безье связаны с поверхностями Безье ( см. разд. Подобно порции поверхности Безье, порция такой В-сплайновой поверхности задается характеристическим многогранником. [40]
Сопоставляя это выражение с (7.24), мы видим, что рациональная бикубическая порция поверхности является обобщением порции кубической поверхности Безье. В обоих случаях углы порции совпадают с вершинами многогранника г00, г03, rso и г33, в то время как гв и rv в углах порции направлены вдоль соответствующих ребер многогранника. Однако рациональной бикубической порции поверхности свойственна большая гибкость, так как можно изменять отношения wjwu и w ws для модификации длин векторов градиента и кручения. [41]
На практике, как правило, по аналитическим и вычислительным соображениям используют полиномиальные функции смешения. Условие 1 - a a0 можно опустить, если а и аг удовлетворяют другим наложенным условиям. Следовательно, порция поверхности, представленная формулой (7.5), не становится плоской, когда все ее границы компланарны. [42]
 |
Характеристический многогранник порции кубической поверхности. [43] |
Кубические кривые Безье, как упоминалось ранее в разд. Фергюсона, заданные в такой форме, что не требуется определения каких-либо касательных. Существует такая же тесная связь между порциями поверхностей, заданными в форме Фергюсона и Безье. Безье проектируется с помощью характеристического многогранника, который определяется векторами положения rif его 16 вершин. [44]
Напомним, что порция кубической поверхности Безье основана на многограннике, определенном в точности 16 вершинами. Одна порция такого рода может представлять только элемент поверхности с весьма простой топографией. Более того, как уже было показано, порции поверхности Фергюсона и порции, основанные на кубических сплайнах, математически эквивалентны порциям поверхности Безье и, следовательно, имеют те же самые ограничения. [45]
Страницы: 1 2 3 4