Cтраница 3
Эта Бернулли теорема была распространена С. Пуассоном [2] на случай последовательности независимых испытаний, где вероятность появления события А может зависеть от номера испытания. [31]
В классическом и геометрическом определениях этого условия не было, значит, его нужно проверить. Такую проверку нетрудно осуществить для последовательности независимых испытаний, так как при этом легко вычисляется вероятность появления той или иной частоты. [32]
Он уточняет связь между частотой появления данного события в последовательности независимых испытаний, произведенных в одинаковых условиях, и вероятностью этого события. Вероятность события служит мерой его реализуемости. [33]
Доказательство элементарной эргодической теоремы дадим в предположении, что число состояний цепи Маркова конечно. Тогда последовательность состояний на следующих за ними шагах есть последовательность независимых испытаний, в которых исход / имеет вероятность рц. Обозначим через S / v ( / i) число исходов / среди N таких испытаний. [34]
Основные исследования П. Л. Чебышева и А. М. Ляпунова почти целиком сосредоточены вокруг проблемы изучения поведения сумм большого числа независимых случайных величин такого рода, что роль каждого отдельного слагаемого в формировании суммы исчезающе мала. К этой проблеме сводятся более специальные задачи, связанные с последовательностями независимых испытаний, составлявшие основной предмет исследований Бернулли, Лапласа и Пуассона. Она имеет основное значение в теоретико-вероятностном обосновании статистических методов исследования ( теория выборок) и теории ошибок. Поэтому большой интерес к названной проблеме вполне обоснован. [35]
Установленное из физических соображений условие независимости событий в том или ином эксперименте может быть положено в основу построения соответствующего данному эксперименту вероятностного пространства. Именно таким образом строится, например, модель эксперимента, представляющего собой последовательность независимых испытаний, играющая большую роль в математической статистике. [36]
Сначала это обстоятельство было подмечено на примере выбора одной из двух гипотез по последовательности независимых испытаний, Соответствующая процедура ( впервые предложенная в связи с задачами приемочного статистического контроля) состоит в следующем. [37]
Сначала это обстоятельство было подмечено на примере выбора одной из двух гипотез по последовательности независимых испытаний. Соответствующая процедура ( впервые предложенная в связи с задачами приемочного статистического контроля) состоит в следующем: на каждом шаге по пезультатам уже проведенных наблюдений решают а) провести ли следующее испытание, или б) прекратить испытания и принять первую гипотезу, или в) прекратить испытания и принять вторую гипотезу. Развитие методов последовательного анализа привело, с одной стороны, к изучению управляемых случайных процессов, с другой - к появлению статистических решений теории. [38]
Для любого строго регулярного сополимера информационная энтропия (1.65) равна нулю. В то же время для полностью статистического сополимера, строение цепи которого описывается последовательностью независимых испытаний [ см. (1.15) 1, величина k максимальна по сравнению с h любого другого сополимера того же состава. Между этими двумя крайними случаями лежат значения информационной энтропии реальных сополимеров, причем с увеличением степени упорядоченности их распределения звеньев при сохранении состава уменьшается значение h этих сополимеров. [39]
Эта Бернулли теорема была распространена С. Пуассоном ( 1837) иа случай последовательности независимых испытаний, где вероятность появления события А может зависеть от номера испытания. [40]
Схематически это повторение испытаний можно представить следующим образом. В урну помещается определенное количество одинаковых на ощупь шаров, часть из которых помечена меткой Л ( например, белым цветом); доля меченых шаров должна быть равна р, так что вероятность вынуть меченый шар равна вероятности события А. Вынув из урны наугад один шар, мы записываем, есть ли на нем метка или нет, возвращаем шар в урну, тщательно перемешиваем шары и затем снова вынимаем один шар. Этот процесс повторяется до получения п записей. Такая последовательность испытаний называется последовательностью независимых испытаний по схеме Бернуллп или по схеме возвращенного шара. [41]
Мы рассказали в этой небольшой книге об основных понятиях и некоторых классических результатах теории вероятностей, стараясь выдержать по возможности более простую форму, но в то же время сделать изложение достаточно полным и строгим. В те времена были уже известны и использовались теоремы сложения и умножения вероятностей, понятие условной вероятности, формула полной вероятности, было введено математическое ожидание. В его Искусстве предположений, изданном посмертно в 1713 году, рассматривалась последовательность независимых испытаний с двумя исходами, было выведено биномиальное распределение, появились производящие функции, решалась задача о разорении игрока, но главное - была обоснована принципиальная возможность статистического подхода к вероятности. Знаменитая теорема Бернулли, установившая, что при большом числе независимых испытаний частота события, как правило, мало отличается от его вероятности, положила начало предельным теоремам теории вероятностей. Среди этих теорем первыми нужно назвать теоремы Муавра-Лапласа о предельном распределении отклонения частоты события от его вероятности. [42]