Cтраница 2
Легко видеть, что если для данного оператора D последовательность многочленов, удовлетворяющих условиям ( а), ( Ь) и ( с) теоремы 2.1, существует, то она определена единственным образом. Кроме того, если оператор D отображает пространство многочленов степени п на все пространство многочленов степени п - I, то такая последовательность всегда существует. [16]
Из втого в силу предложения А) следует, что последовательность многочленов pm ( z) покоэффициентно сходится к некоторому многочлену. [17]
Так как х 1, то из неравенства (3.4) следует, что последовательность ортонормированных многочленов Лежандра Рп ( х) ограничена. Поэтому можно применить общую теорему 1.11 об условиях сходимости ряда Фурье по ортогональным многочленам в отдельной точке. [18]
Итак, всякая непрерывная на отрезке функция является пределом равномерно сходящейся на этом отрезке последовательности многочленов. [19]
Но произвольный многочлен в свою очередь может быть представлен как предел равномерно сходящейся в Q последовательности многочленов с рациональными коэффициентами. Поэтому в C ( Q) всюду плотно и счетное множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Значит, пространство C ( Q) сепа-рабельно. [20]
Следовательно, непрерывная функция от m переменных на компакте является равномерным на этом компакте пределом последовательности многочленов от m переменных. [21]
В качестве членов ( рп ( х) в аппроксимирующей функции ( 3) чаще всего выбирают подходящие последовательности многочленов или тригонометрических функций. [22]
Показать, что всякая непрерывная на замкнутом интервале [ а, Ь ] функция есть равномерный предел последовательности многочленов. [23]
I следует, что для рассмотрения условий сходимости рядов Фурье по ортогональным многочленам очень важно установить ограниченность последовательности ортонормированных многочленов в отдельной точке, на некотором множестве или на всем сегменте ортогональности. А многочлены Чебышева первого рода ограничены равномерно на всем сегменте ортогональности. В связи с этими фактами возникает естественный вопрос о распространении результатов, установленных для классических ортогональных многочленов, на более общие системы многочленов, ортонормированных с произвольной весовой функцией. [24]
Доказать, что если для функции / ( я), определенной на всей оси Ох, существует последовательность многочленов, равномерно на Ох сходящаяся к / ( х), то / ( х) - многочлен. [25]
Из формул ( 17) и ( 18) следует, что при линейном преобразовании х pt q свойства последовательности ортонормированных многочленов в соответственных точках сегмента ортогональности не изменяются. Поэтому для выяснения качественной картины обычно сначала рассматривают стандартный сегмент [-1,1], а затем полученные результаты распространяют на любой другой конечный сегмент. [26]
Для всякой измеримой и почти везде конечной функции f ( x) заданной на [ а, Ъ ], существует последовательность многочленов, сходящаяся Kf ( x) почти везде. [27]
Рп ( х) Рп ( х) и, кроме того, Р () - 0; этими соотношениями последовательность многочленов Рп ( х) однозначно определяется. Аналогичные исходные соотношения приводят к построению другой последовательности многочленов - многочленов Бернулли, мы сейчас дадим их определение, а затем разложение их в ряды Фурье. [28]
Функция f ( A) всегда получается предельным переходом из др ( А) при р - оо, если только последовательность многочленов др ( Х) сходится к / ( А) на спектре матрицы А. Последнее условие является необходимым для существования предела lim др ( А) при р - оо. [29]
Первый, ныне завершающийся 25-летний период развития нашей теории был, по преимуществу, посвящен непрерывным функциям, которые являются эквивалентом последовательностей многочленов, равномерно сходящихся на данном отрезке. [30]