Cтраница 3
Пусть da ( х) - произвольное распределение на конечном или бесконечном промежутке, [ рп ( х) - соответствующая ему последовательность ортонормальных многочленов, XQ - произвольная, но фиксированная точка. [31]
Таким образом, умножение или деление весовой функции на положительный многочлен сохраняет ограниченность, а в некоторых случаях и скорость возрастания либо убывания последовательности ортонормированных многочленов. [32]
А поскольку а произвольно, то это неравенство показывает, что / может быть равномерно приближена многочленом, а тогда, как известно, можно найти последовательность многочленов, равномерно сходящуюся к /, для чего достаточно взять сходящуюся к нулю последовательность а и рассмотреть последовательность многочленов Л, для которых. [33]
Всякая непрерывная на отрезке [ а, Ъ ] функция f ( x) является пределом некоторой равномерно сходящейся на отрезке [ а, Ь ] последовательности многочленов. [34]
Теорема 6.1.1. Пусть da ( x) - распределение, заданное на конечном отрезке [ а, Ъ ], и пусть [ р ь ( х) - соответствующая ортонор-малъная последовательность многочленов. [35]
Из этого последнего факта вытекает фундаментальная теорема Вейерштрасса, которая служит мостом между теорией аналитических функций и общей теорией функций, а именно утверждающая, что всякая непрерывная функция может быть рассматриваема, как предел последовательности многочленов. [36]
А поскольку а произвольно, то это неравенство показывает, что / может быть равномерно приближена многочленом, а тогда, как известно, можно найти последовательность многочленов, равномерно сходящуюся к /, для чего достаточно взять сходящуюся к нулю последовательность а и рассмотреть последовательность многочленов Л, для которых. [37]
Из доказанной полноты последовательности функций ( 3) следует полнота в L2 ( a, b) любой последовательности Pk ( f), где Pk ( f) - многочлен точно k - и степени. В частности, будет полной последовательность многочленов, которые получаются из ( 3) с помощью ортогонализации. [38]
Для непрерывных функций многочлен существует. Липшица, то для полученной согласно данному алгоритму последовательности многочленов не гарантируется равномерная сходимость к исходной функции. Однако при этом требуется дополнительный объем памяти необходимый для запоминания каждого полинома, который быстро растет с увеличением точности, совпадения аппроксимирующей модели с целевой функцией. [39]
Грюнвальд [1] и Марцинкевич [2] доказали существование такой непрерывной функции f ( x), для которой последовательность многочленов Лагранжа, соответствующая этим xVn, расходится всюду и даже не ограниченна всюду. [40]
Из условия Ре С вытекает, что множество всех дифференциальных уравнений имеет мощность континуума. Действительно, каждое непрерывное отображение согласно теореме Вейер-штрасса определяется счетной последовательностью отображений с полиномиальными координатами, а множество таких последовательностей многочленов ( можно даже брать многочлены с рациональными коэффициентами) имеет мощность континуума. Таким образом, мощность множества классов топологически эквивалентных потоков, определенных уравнением (6.4.16), не может превосходить мощность континуума. [41]
Если допустить лишь непрерывность / ( я), то поведение многочленов Лагранжа при заданной матрице интерполирования может быть весьма нерегулярным. Марцинкевич [1]) доказал, что для данной матрицы узлов интерполирования Sn существует такая непрерывная функция / ( я), что соответствующая ей последовательность многочленов ( Ьп ( х) не является равномерно сходящейся. [42]