Cтраница 2
Из ( 5) следует, что всякое действительное число является пределом последовательности рациональных чисел. [16]
Они доказали, что для любой римановой метрики на компактном односвязном дифференцируемом многообразии М существует бесконечно много замкнутых геодезических, если последовательность рациональных чисел Бетти пространства AM параметризованных замкнутых кривых неограничена. [17]
В множестве всех вещественных чисел Я, подмножество D всех рациональных чисел обладает следующим важным свойством: каждое вещественное число представимо как предел последовательности рациональных чисел. [18]
Значительно раньше этой теоремы была установлена следующая теорема ( родственная с упомянутой в некоторых отношениях): Невозможен алгорифм, строящий по любой конструктивной фундаментальной ( в конструктивном смысле) последовательности рациональных чисел предъявленной без какого-либо алгоритмического регулятора сходимости в себе. [19]
Именно, пусть п ( г) - степень, в которой простое число р входит сомножителем в рациональное число г. Число р-п г назовем /) - нормой числа г. Последовательность рациональных чисел называется фундаментальной, если она фундаментальна в смысле р-нормы. [20]
Тогда существует последовательность рациональных чисел - - при п-оо. [21]
Тогда существует последовательность рациональных чисел - - - при / г - - оо. [22]
Примером параметрической теоремы существования, которая не имеет даже умеренно отдаленного доказуемого конструктианого аналога и для которой буквальный конструктивный аналог может быть опровергнут в сильном смысле, является теорема о существовании предела любой монотонной и ограниченной последовательности вещественных чисел. Шпеккер [21] построил конкретную монотонную и ограниченную алгорифмическую последовательность рациональных чисел, для которой невозможен алгорифмический регулятор сходимости в себе. Ни одно конструктивное вещественное число не является пределом этой последова - М тельности. Для теоремы о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности вещественных чисел удается найти лишь весьма отдаленный доказуемый конструктивный аналог, использующий понятие конструктивного вещественного псевдочисла. [23]
Это не звучит как математическое определение. Разве можно считать хорошо определенной последовательность рациональных чисел, если ее компоненты зависят от такого материального факта, как существование к данному моменту доказательства некоторого математического высказывания. [24]
Вот здесь-то и вступают в игру действительные числа. Если бы мы думали, что все числа рациональны, мы могли бы определить предел последовательности рациональных чисел как такое рациональное число /, к которому сколь угодно близко подходят члены последовательности. [25]
IR, С а, b, I p, Lp является их полнота. Примером же неполного пространства может служить метрическое пространство Q рациональных чисел, рассматриваемое как подпространство R, так как последовательность рациональных чисел, сходящаяся к иррациональному числу, будучи, очевидно, фундаментальной, не имеет предела в Q. Другим примером может служить метрическое пространство У всех полиномов как подпространство в С [ а, Ь ], так как последовательность полиномов, равномерно сходящаяся к непрерывной функции, не являющейся полиномом, представляет собой фундаментальную, по не сходящуюся в У последовательность. [26]
Требуемое обобщение достигается при помощи так называемых обобщенных функций или распределений. Обобщенные функции могут быть определены различными способами, например как пределы последовательностей достаточно регулярных функций, подобно тому как вещественные числа являются пределами последовательностей рациональных чисел. Аналогично тому как при расчетах никогда не оперируют с иррациональным числом, а используют только его рациональные приближения, вместо значений, принимаемых обобщенной Функцией, всегда имеют дело с последовательностью аппроксимирующих ее функций. [27]
Легко проверить выполнение для (2.3) аксиом метрики. В математическом анализе доказывается, что множество действительных чисел с введенной таким образом метрикой полное. Отметим, что множество рациональных чисел с метрикой (2.3) не является полным - могут существовать последовательности рациональных чисел, имеющие иррациональный предел. [28]
Заметим, что любой многочлен р ( х) с коэффициентами из Q есть, по сути дела, последовательность рациональных чисел. [29]
Эксперимент прекращают на последнем остатке, превосходящем ошибки эксперимента, и этот остаток служит приближенной общей мерой. GI теоретически определяются одна по отношению к другой, можно ставить вопрос, соизмеримы ли эти величины. Известно что сторона и диагональ квадрата несоизмеримы. Алгоритм Евклида ( вернее его было бы назвать алгоритмом Евдокса) позволяет заменить иррациональное отношение ( которое древние математики считали несуществующим) последовательностью рациональных чисел, неограниченно приближающихся к этому отношению. [30]