Cтраница 3
Так как эти интервалы образуют гнездо, числа а составляют монотонную неубывающую последовательность, а числа Ь - монотонную невозрастающую последовательность. Эти последовательности ограничены; это видно из того, что всякое а не превышает 6Ь а всякое Ъп больше а или равно ему. Стало быть, эти последовательности сходятся. К тому же каждая из них имеет пределом действительное число а. В самом деле, любая окрестность числа а содержит все интервалы [ а, Ь ], за исключением, разве, конечного их числа, и, значит, содержит все члены каждой из последовательностей а и Ъп, опять-таки не считая, быть может, конечного их числа. Поэтому можно сказать, что всякое действительное число может быть представлено как предел последовательностей рациональных чисел. [31]
После натуральных ( т.е., по-русски, естественных) чисел были изобретены дроби или рациональные числа ( от латинского rationalis - принадлежащий рассудку, а не природе), затем иррациональные ( непостижимые рассудком) и, наконец, мнимые и комплексные числа. Кронекер: Целые числа сотворил Господь, все остальное - - дело людских рук. Сами названия этих чисел говорят о том, что их природа, их отношение к реальности было поначалу не очень ясно самим изобретателям. Да затем, что геометрам очень удобно характеризовать размер каждого отрезка числом - - его длиной. И когда обнаружилось, что существуют отрезки, несоизмеримые с единицей длины, это удобство исчезло. Стало невозможно решать многие геометрические задачи числовыми методами. Указанная цель была достигнута довольно сложным образом: иррациональное число поначалу выглядело как предельное значение а последовательности ап рациональных чисел ( его приближений), не являющееся само рациональным числом. [32]