Cтраница 2
При выводе приведенной точной последовательности требуется использовать очень полезное свойство гомотопического покрытия для расслоенного пространства, которое заключается в следующем. Если дано G: KXI - B, где / [0,1], и такое отображение /: К - Х, что р - 1 ( G ( К, 0)) f ( K), где р: Х - В является проекцией на X, то существуют такие qp: KXl - X, что p - cp G. Короче, гомотопия G базы всегда покрыта гомотопией расслоенного пространства. [16]
Посредством класса допустимых точных последовательностей определяется класс ( проективных ( соответственно - инъектив-ных) объектов как класс таких объектов Р ( соответственно (), для к-рых функтор Нот11 ( ( Р, -) ( соответственно Лот, ( -, Q)) точен на допустимых коротких точных последовательностях. [17]
На Р имеется точная последовательность ( ср. [18]
Поэтому имеют место точные последовательности. [19]
Показать, что точная последовательность 0 - Z - Q - Q / Z - - - 0 при тензорном умножении на Q / Z над Z перестает быть точной. [20]
Показать, что точная последовательность 1 - - - - U - F - - v ( F) - - 1 расщепляется. [21]
Из самого определения точной последовательности следуют ее свойства. [22]
Существует важный пример точной последовательности. [23]
Широко используется язык точных последовательностей. [24]
Умножим теперь рассматриваемую точную последовательность тензорно на 2 и перейдем к проективному пределу. [25]
Мы видим, что точная последовательность отображает Л в 0 в два этапа; это очень полезное правило нужно помнить. [26]
Относительные когомологические группы и точные последовательности для них определяются так же, как для гомологии ( § 7 гл. [27]
Требуется доказать, что точная последовательность () расщепляется. Для этого достаточно будет убедиться, что группа G содержит тор Т той же размерности, что и Г, ибо в этом случае соотношение Т П Gu e очевидно, а соотношение S. GU) 0 почти очевидно (15.3); равенство п ( Т) Т следует из соображений размерности. Мы также докажем, что любые два максимальных тора группы G сопряжены. Этот результат играет здесь ту же роль, которую в теории алгебр Ли играет теорема о сопряженности подалгебр Картана. Случай, когда группа G абелева, уже рассмотрен (15.5), так что мы рассмотрим сейчас случай, когда группа G нильпотентна. [28]
В самом деле, универсальная точная последовательность на G определяет гомоморфизм второй фундаментальной формы ( ср. Altman - Kleiman 1 ], 1.3) из S в Uc / x 8 Q - При дуализации это дает гомоморфизм TG / X в Sv Q; проверка в локальных координатах показывает, что это изоморфизм. [29]
Отсюда следует, что точные последовательности Q-S - ker /, S-P - / ( M), Q - S - f ( M), S - P - coker / являются периодическими представлениями. [30]