Cтраница 3
Отсюда следует единственность предельной точки для любой монотонной последовательности. Следовательно, у монотонной ограниченной последовательности существует, и притом единственная, предельная точка, и теорема доказана. [31]
Грубо говоря, с алгебраической точки зрения множество D всех действительных чисел устроено так же, как и множество R рациональных чисел. Однако действительных чисел больше - настолько больше, что любая монотонная ограниченная последовательность имеет в D предел. Более точно, множество D всех действительных чисел обладает следующими пятью группами свойств. [32]
Тогда, если я 1, то последовательность ( аа) в силу свойства степенен с рациональными показателями будет неубывающей и ограниченной сверху числом ар, а если 0а 1, то ( аа) будет невозрастающей и ограниченной снизу нулем. Из теоремы о пределе монотонной ограниченной последовательности следует, что предел ( 1) существует в обоих случаях. [33]
Примером параметрической теоремы существования, которая не имеет даже умеренно отдаленного доказуемого конструктианого аналога и для которой буквальный конструктивный аналог может быть опровергнут в сильном смысле, является теорема о существовании предела любой монотонной и ограниченной последовательности вещественных чисел. Шпеккер [21] построил конкретную монотонную и ограниченную алгорифмическую последовательность рациональных чисел, для которой невозможен алгорифмический регулятор сходимости в себе. Ни одно конструктивное вещественное число не является пределом этой последова - М тельности. Для теоремы о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности вещественных чисел удается найти лишь весьма отдаленный доказуемый конструктивный аналог, использующий понятие конструктивного вещественного псевдочисла. [34]