Постановка - вариационная задача
Cтраница 2
 |
Усталостный излом картера авиадвигателя.| Усталостный излом шестерни. [16] |
Правильность формы фронта излома наводит на мысль о возможности постановки вариационных задач, один из вариантов которых предложен в следующем пункте. [17]
В его трудах разработаны теоретические основы механики пластически деформируемых композитных сред, предложена изопериметрическая постановка вариационных задач теории пластичности, используется суперпозиция гармонических течений, получен рад формул в кинематике и статике сплошных сред, имеющих важное фундаментальное и прикладное значение. [18]
В распределенных системах, наряду с временем t, независимыми переменными являются также пространственные координаты х, у, г. Поэтому постановка вариационной задачи несколько изменяется. [19]
Законы сохранения ( дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Теорема Нетер и ее обобщение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Теорема Нетер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [20]
Необходимо, однако, отметить, что Эйлер еще не обладал разработанной теорией двумерного интеграла; в связи с этим он ограничивается постановкой вариационной задачи в прямоугольной области вида аж. Между тем, при использовании криволинейных интегралов результаты Эйлера без всяких изменений переносятся на случай области произвольной формы. [21]
Отличие одного подхода от другого состоит лишь в том, что если в первом подходе граничные условия задаются независимо от дифференциального уравнения системы, то во втором они связаны) с самой постановкой вариационной задачи. Приведенное обстоятельство весьма существенно, и оно часто позволяет осуществить правильную постановку краевых задач. [22]
Например, добавив к условиям задачи требование выполнения условия Липшица Ц и ( t2) - и ( ti), С 1 2 - ii ч превратим конструкцию F [ и () J Ф 1м ( t) ] в содержательно осмысленную и имеющую право участвовать в постановке вариационной задачи. [23]
Величины АЗ и А4 являются постоянными, a A2 ( j /) и AS ( у) - переменными множителями Лагранжа. При постановке частных вариационных задач некоторые из условий задачи 1 могут не использоваться. Например, в задаче о плоском профиле может не задаваться подъемная сила С. В этом случае в сумме (2.20) достаточно положить равным нулю соответствующий множитель Лагранжа. [24]
Очевидно, указанные выше условия не определяют однозначно распределения скорости и, соответственно, формы обтекаемого тела. Принципиально возможна постановка вариационной задачи нахождения формы обтекаемого тела с наименьшими потерями кинетической энергии потока, вызванными трением; которые определяются путем расчета пограничного слоя, однако строгое исследование этой задачи в общей постановке затруднительно ввиду сложности связи между формой тела и потерями трения. [25]
Это являлось ограничением в постановке вариационных задач, но отказ от ограничений может только улучшить решение. Обратимся к закрученным осесимметричным течениям и покажем на простейшем примере, что закрутка потока действительно может увеличить силу тяги сопла при прочих равных условиях. При этом азимутальная составляющая скорости не будет рассматриваться как свободная функция, она просто будет задаваться. [26]
Параметрам слева ( справа) от d приписан индекс минус ( плюс), а через А обозначено возможное приращение ф точки разрыва. Поскольку скачки уплотнения при t tf запрещены постановкой вариационной задачи, то разрывы параметров на / / могут вызываться лишь фокусировкой в d одноименных характеристик. Если точек разрыва несколько, то в (2.3) предполагается суммирование по всем ним. [27]
При отсутствии стимулирующих приложений, которое объясняется, главным образом, недостаточной практичностью самой постановки вариационных задач, развитие теории разрывных решений не пошло дальше простейшей задачи. [28]
Решение задач теплопроводности может быть получено еще одним численным методом - методом конечных элементов. Математической основой метода конечных элементов является вариационное исчисление. В отличие от метода конечных разностей, в котором исходные дифференциальные уравнения непосредственно используются для построения разностной схемы, в методе конечных элементов дифференциальное уравнение теплопроводности и соответствующие граничные условия используются для постановки вариационной задачи, которая затем решается численно. [29]
При обратном решении вариационной задачи предполагается заданной некоторое замкнутое, относительно конечного количества функций, множество уравнений с необходимыми граничными условиями и связями, накладываемыми на эти функции и их производные. Лагранжа для некоторого функционала, по ней восстанавливается этот функционал и определяется характер его экстремума ( максимум или минимум) на экстремалях функционала. Тогда обратное решение вариационной задачи сводится к максимизации или минимизации восстановленного функционала с соблюдением граничных условий и связей, накладываемых на его экстремали и их производные. В связи с отсутствием в математике общих методов решения множества нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка, к которой в наиболее общем случае сводится прямое решение, а также благодаря развитию численных методов поиска экстремумов функций и широкому распространению цифровой вычислительной техники, обратное решение наиболее часто применяется в реализации постановки вариационных задач. [30]
Страницы: 1 2 3