Cтраница 3
Армитедж предложили) новый подход к решению вариационных задач газовой динамики, свободный от перечисленных ограничений. Этот подход, идея которого была также независимо высказана Т. К. Сиразетдиновым ( 1963), состоит в том, что экстремальная задача формулируется для интеграла от давлений, записанного непосредственно по контуру тела, при наличии связей между искомыми функциями в области влияния, контур а в виде дифференциальных уравнений, описывающих движение газа. При составлении минимизируемого функционала эти связи учитываются введением соответствующих переменных множителей Лагранжа, так что функционал состоит из суммы интеграла, взятого вдоль искомого контура, и двойного интеграла, взятого по области влияния контура. В работе А. Н. Крайко ( 1964) постановка вариационных задач обобщена на равновесные и неравновесные течения газа с произвольными термодинамическими свойствами. В этой же работе Крайко ввел в рассмотрение разрывные множители Лагранжа, установил, что линиями разрыва для них могут быть только характеристики уравнений газодинамики, и вывел условия для разрывов. [31]
Теорема 1 устанавливает эквивалентность задач ( 25) и ( 27), но в ней нет никаких утверждений о самом существовании решения UQ E D ( A) этих задач. Au f есть функция, принадлежащая области определения D ( A) оператора А и удовлетворяющая этому уравнению. Оказывается, что в такой постановке это решение может не существовать. Однако оно существует в несколько более широком ( чем D ( A)) пространстве. Поэтому необходимо изменить постановку вариационной задачи о минимизации J ( u), чтобы можно было гарантировать существование ее решения. [32]
Метод конечных элементов для описания сплошных сред впервые был применен в середине 50 - х годов XX столетия и с тех пор завоевал известность исключительно полезного инженерного метода. Он широко применяется в гидродинамике, теории поля, при расчете сложных напряженных состояний и в других областях. О распространенности метода конечных элементов можно судить, например, по работе Норри и де Ври [9], в которой приведено более 7 тыс. ссылок, содержащих указания на его применение в различных областях науки и техники. Хотя метод конечных элементов применяется для решения тех же задач, что и метод конечных разностей, основаны они на разных идеях. В методе конечных разностей проводится разностная аппроксимация производных, входящих в дифференциальные уравнения. Дифференциальное уравнение, описывающее задачу, и соответствующие граничные условия используются для постановки вариационной задачи, которая затем решается непосредственно. С этой точки зрения метод конечных элементов представляет собой неявное применение метода Ритца на отдельных отрезках. В методе конечных элементов физическая задача заменяется кусочно-гладкой моделью. В этом смысле метод конечных элементов позволяет инженеру использовать свое интуитивное понимание задачи. [33]