Cтраница 4
Должен ли еще аналитик оправдываться перед злопыхателями, упрекающими его в пристрастии к функциям с патологическим поведением, даже в той малой степени, в какой это делает автор. Если когда-то и считалось модным опровергать скороспелые гипотезы построением примеров функций, ведущих себя соответствующим образом плохо, то эта мода кончилась уже лет 20 назад. Подавляющее большинство доказанных с тех пор теорем содержит позитивные и изящные утверждения о функциях с хорошим поведением; необходимые иногда патологические теоремы только оттеняют позитивные утверждения и являются сугубо второстепенными и редкими исключениями. [46]
Задача называется корректной, если она разрешима при любых начальных ( или граничных) данных, принадлежащих к некоторому классу, имеет единственное решение и это решение непрерывно зависит от начальных данных ( см. книгу С. К - Годунова Уравнения математической физики, гл. Задачи 89 - 93 исследовать путем попытки построения примера типа примера Адамара методом Фурье. [47]
В этом разделе мы применим искривленные произведения для построения лоренцевых многообразий; затем мы изучим причинную структуру и свойства полноты построенного нами класса лоренцевых многообразий. Тем не менее лоренцевы метрики искривленных произведений построить можно, используя для этого в качестве сомножителей лоренцево и риманово многообразия. Эту конструкцию можно применить, в частности, для построения примеров биинвариантных лоренцевых метрик для групп Ли ( см. разд. [48]
Одной из наиболее известных нерешенных проблем в математике является задача о раскраске карты, в которой требуется доказать или опровергнуть тот факт, что любую карту на плоскости можно раскрасить, используя четыре цвета или меньше. Карта делит плоскость на много областей; ограничение состоит в том, что две области, имеющие общую границу, должны быть раскрашены в разные цвета. Если бы существовал алгоритм, позволяющий найти минимальное количество цветов для любой карты, то он мог бы служить для построения примеров и контрпримеров. [49]
Другая группа очень трудных и своеобразных задач относится к построению арифметических примеров б-множеств низших классов. В этой работе Л. В. Келдыш дала принципиальную возможность построения арифметического примера и для трансфинитных классов; необходимо отметить, что в основе конструкции существенно лежит пересчет всех предшествующих трансфинитов. Таким образом этот вопрос также был доведен до своего естественного конца в советских работах. [50]
Мы показываем в § 3, 4, что ответ на этот вопрос отрицателен как в случае автоморфизмов, так и в случае потоков. Новый инвариант, позволяющий расщепить класс автоморфизмов X и класс потоков Жи на континуум инвариантных подклассов, есть энтропия на единицу времени. В § 2 дается определение характеристики h и доказывается1 ее инвариантность. В случае автоморфизмов дело идет о примерах, давно построенных, в случае потоков построение примеров с конечным h - задача более деликатная и связанная с некоторыми любопытными вопросами теории марковских процессов. [51]
Другая трудность состоит в правильном выборе темпа изложения. Если предполагать, что операции с матрицами уже знакомы студенту, то материал первой главы нужно излагать не слишком медленно, поскольку следующая глава потребует от читателя значительных усилий. Ее цель состоит в том, чтобы объяснить смысл уравнения Ах Ь глубже, чем позволяет метод исключения. Я считаю, что введение четырех основных подпространств-пространства столбцов матрицы А, пространства ее строк и их ортогональных дополнений ( двух нуль-пространств) - дает эффективный способ построения примеров линейной зависимости и независимости, а также хорошо иллюстрирует идеи базиса, размерности и ранга. Кроме того, с помощью понятия ортогональности обычная геометрия трехмерного пространства естественным образом распространяется на n - мерный случай. [52]
Теперь мы видим, что задача эта не представляет труда - в силу теоремы Хинчина для быстро затухающих функций ( см. с. В ( т) обязательно будут корреляционными функциями. Также и проверка того, принадлежит ли интегрируемая функция В ( т) к классу корреляционных функций или нет, оказывается довольно простой - надо вычислить по формуле (2.82) соответствующую функцию f ( со), и если окажется, что / ( со) О при всех со, то, значит, В ( т) принадлежит к классу корреляционных функций, а если / ( со) 0 хоть при одном со, то, значит, не принадлежит. Напомним также, что вещественная корреляционная функция В ( т) обязательно должна удовлетворять условиям: В ( 0) О, В ( - т) В ( т) и В ( т) В ( 0) ( см. соотношения (1.25)); поэтому при построении примеров корреляционных функций В ( т) функции, для которых нарушается хоть одно из указанных условий, не могут представлять интереса. [53]