Cтраница 3
В силу того, что правые части системы (1.4) не зависят явно от времени, ее решению х x ( t, / /) соответствует решение х x ( t - ti, / /), где t - произвольный момент времени. Другой параметр, а именно / /, считается достаточно малым, чтобы обеспечить сходимость тех рядов, которые появляются в процессе построения периодических решений. [31]
В силу того, что правые части системы (1.3) не зависят явно от времени, ее решению х x ( t, IJL) соответствует решение х x ( t - ti, / /), где ti - произвольный момент времени. Другой параметр, а именно / л, считается достаточно малым, чтобы обеспечить сходимость тех рядов, которые появляются в процессе построения периодических решений. [32]
Если / ( сг) ( см., например, рис. 4.2.1) кусочно линейна, то система (2.1) остается нелинейной за счет того, что f ( a) имеет характеристику, составленную из кусков прямых линий. Однако в этом случае ее уравнения движения невозможно представить в виде (1.4), чтобы нелинейность характеризовать некоторым малым параметром, а следовательно, использовать теорему Пуанкаре и метод Крылова для построения периодических решений. [33]
Другим направлением практикума является исследование установившихся колебаний в нелинейных системах. Здесь студенты должны привести предложенные системы обыкновенных дифференциальных уравнений к канонической форме; при этом большое внимание уделяется приведению квадратной матрицы к нормальной форме Жордана и сведению матриц коэффициентов кинетической и потенциальной энергий к диагональной форме. Предлагаются работы, при выполнении которых используются метод Бубнова-Галеркина и метод Ляпунова построения периодических решений. [34]
Отметим, что формальное совпадение методов построения периодических решений как в случае вынужденных колебаний, так и автоколебаний не означает буквального совпадения вычислительных процедур. Отличия заключаются в том, что по-разному осуществляются пункты 1 и 4 алгоритма III при построении периодического решения. [35]
Изложенные выше методы построения периодических решений нелинейных систем позволяют получить эти решения приближенно практически с любой точностью. Все они основаны на последовательном использовании соответствующим образом подобранных линейных систем уравнений. В методе гармонической линеаризации для этой цели применяется специальное разложение нелинейной функции в тригонометрический ряд. В методе Пуанкаре в основу положена система первого приближения. Другие методы построения периодических решений нелинейных систем также основываются на специальным образом подобранных линейных системах. К ним относятся метод Ван дер Поля, метод осреднения, метод эквивалентной линеаризации и многие другие методы. Не имея возможности уделить больше внимания этой проблеме, автор рекомендует заинтересованному читателю обратиться к соотвествующей литературе, список которой приведен в конце книги. [36]