Cтраница 3
Граничные задачи для уравнения Гельмгольца, как и задачи для уравнений Лапласа и Пуассона, допускают построение функций Грина, с помощью которых решение задачи может быть записано в интегральной форме. Непосредственно эти функции Грина описывают поля, созданные точечными источниками. [31]
Такова общая схема построения функции Грина для граничной задачи ( 3 - 98) - ( 3 - 99), и, как видим, сам процесс построения функции Грина сравнительно прост. [32]
Для исключения точек разрыва подынтегральных функций в реальных условиях экспериментальных исследований можно всегда выбрать несоприкасающиеся фрагменты поверхности тела L и S, причем на части поверхности тела, не входящей в состав L и S, должны быть известны или статические, или кинематические граничные условия, информация о которых должна быть учтена при построении функций Грина. [33]
Уже давно решение типа точечного источника для нестационарной фильтрации в однородной слабосжимаемой среде применяется для исследования прямых и особенно обратных задач упругого режима фильтрации. Построение функции Грина подобной задачи в неоднородной среде, параметры которой случайны, дает возможность решать соответствующие прямые и обратные задачи для таких сред. [34]
В ряде случаев, когда метод мажорант неприменим, оценку погрешности приближенного решения удается получить, используя так называемую сеточную функцию Грина. Проводимые ниже построения функции Грина сеточной краевой задачи (1.3) - (1.4) кроме всего прочего интересны своей аналогией со случаем дифференциальной краевой задачи. [35]
В ряде случаев, когда метод мажорант неприменим, оценку погрешности приближенного решения можно получить, используя так называемую сеточную функцию Грина. Проводимые ниже построения функции Грина сеточной краевой задачи (1.3), (1.4) кроме всего прочего интересны своей аналогией со случаем дифференциальной краевой задачи. [36]
Кроме того, эта последняя функция будет иметь в точке z a простой корень, а на контурах / t и / 2 ее модуль будет равняться единице, так как на этих контурах функция Грина G ( z; a) обращается в нуль. Таким образом, построение функции Грина сводится к построению такой аналитической функции / ( г), которая имеет внутри многосвязной области В однозначный модуль, равный единице на контуре области, и точку z а имеет единственным простым корнем. [37]
В методе ФГ расчет локальных состояний проводится по теории возмущений в предположении, что зонная структура совершенного кристалла рассчитана каким-либо из методов теории твердого тела. Существенно, что построение функции Грина связано с суммированием по волновому вектору и поэтому требует знания зонной структуры совершенного кристалла в достаточно большом числе точек первой зоны Бриллюэна. Как правило, в расчетах по методу ФГ используется базис функций Ванье ( см. § 2.7) при описании локальных состояний. Однако даже предположение о достаточной локализации возмущения при расчетах на базисе функций Ванье не позволяет выйти за рамки рассмотрения различных модельных задач. [38]
Возникает, естественно, вопрос о возможном преимуществе решения задачи Дирихле посредством функции Грина по сравнению с решением той или иной конкретной задачи каким-либо иным методом, например, посредством интегральных уравнений. Нужно отметить, что построение функции Грина, вообще говоря, требует решения совокупности краевых задач для различных положений точки р, однако для отдельных областей удается построить функцию Грина в явном виде. [39]
Излагаемая нами теория возмущений основана на работе Кинера и Мак-Лафлина [8], которые показали, что медленная модуляция солитонной части решения может быть описана с помощью произвольного набора независимых параметров. Они также рассматривали вопрос о построении функции Грина, позволяющей вычислить излучение, даваемое многосолитонной волной. [40]
К достоинствам метода функции Грина следует отнести его универсальность, позволяющую применять его для решения задач в общей постановке: на конечном и бесконечных интервалах, при неоднородных граничных и начальных условиях и для неоднородных уравнений. К недостаткам следует отнести то, что построение функции Грина требует определенной изобретательности и в некоторых случаях трудно выполнимо. [41]
Структура слагаемых разного порядка приближения в (12.59) такова, что легко увидеть возможность построения функции Грина G ( п, п) с помощью простой диаграммной техники. Правило построения всего ряда сводится к следующему. Каждый луч, исходя из точки п, не возвращается больше к ней и приходит в точку п, не выходя больше из нее. Что же касается точек расположения дефектов, то луч может возвращаться к ним многократно. После суммирования по всем лучам мы получим искомую функцию Грина. [42]
В данном пункте исследуется остававшийся до сих пор открытым вопрос о существовании и единственности функции Грина, причем применяется метод, который одновременно может служить способом для построения функции Грина. [43]
Для исключения точек разрыва подынтегральных функций в реальных условиях экспериментальных исследований можно всегда выбрать несоприкасающиеся фрагменты поверхности тела L и 5, причем на части поверхности тела, не входящей в состав L и S, должны быть известны или статические, или кинематические граничные условия, информация о которых должна быть учтена при построении функций Грина. [44]
Так как почти все эрмитовы операторы, рассматриваемые в задачах математической физики, полу ограничены, то наши результаты находят различные применения в задачах математической физики. В частности, найденные нами формулы перехода от какого-либо положительного самосопряженного расширения 5 оператора 5 к жесткому расширению ( см. теорему 12, гл. I) позволяют дать новые эффективные методы построения функций Грина для различных краевых задач в частных производных ( см. гл. [45]