Cтраница 3
Естественно выделять такие условия протекания процесса, такие классы процессов деформации, для которых структура соотношений (1.1), (1.2) становится более обозримой и определенной, а соответствующие математические задачи - проще, доступнее более широкому кругу специалистов. При этом необходимо реалистически оценивать те преимущества, которые действительно вносятся, в сопоставлении с неизбежно возникающей потерей общности и с учетом имеющихся возможностей современной математики. [31]
Наблюдаемое оживление интереса к поведению упругопла-стических конструкций при повторно-переменном нагружении объясняется, по-видимому, главным образом лучшей осведомленностью относительно существенно небезопасной неточности предельного анализа во многих соответствующих условиях ( см., например, [1]), с одной стороны, и расширением возможностей численного решения задач при использовании матричных методов и ЭВМ - с другой. В данной статье дискретные модели конструкций используются прежде всего для получения удобных компактных формулировок, не приводящих к потере общности. [32]
Первая и наиболее важная причина - это потребность в установлении правильных взаимоотношений между уже известной стандартной теорией, с одной стороны, и новой гиперконечной теорией - с другой. Вторая ( тесно связанная с первой) причина - желание по-казать, что работа с нестандартной теорией не ведет к потере общности. [33]
Таким образом, возникает вопрос о сокращении числа переменных. Понятно, что оно не может быть выполнено путем простого отказа от част определяющих факторов; это привело бы к потере общности, поскольку полученные зависимости были бы справедливы только при тех значениях отброшенных переменных, которые имели место на модели во время эксперимента. [34]
Поскольку это решение справедливо только при больших временах, указанные константы не могут быть оценены в терминах начальных условий, так что без малейшей потери общности можно положить с уо и С2 0 в некоторый момент времени. [35]
В связи с обсуждением, следующим за формулой ( 23), покажите, что специальная форма сохраняется при ортогонализации Шмидта. Сделайте отсюда вывод, что поэтому предположение, согласно которому все собственные векторы Y ( i) имеют специальную форму, не приводит к потере общности. [36]
Мы будем иметь дело только с простейшей ситуацией, когда D-или &-клетка, или й-симплекс Qk, описанный в примере 9.31. Причина этого в том, что нам предстоит интегрировать по D, а мы еще не развили теории интегрирования по более сложным подмножествам пространства Rk. Мы увидим, что это ограничение, наложенное на D ( мы будем его в дальнейшем, не оговаривая, предполагать выполненным) не влечет существенной потери общности в теории дифференциальных форм. [37]
Поэтому удобно иметь возможность ограничивать процессы на более грубую ось времени, причем если мы интересуемся только правой стандартной частью процесса X, это не ведет к потере общности. [38]
Описание работы программы при этом становится чрезвычайно громоздким и даже практически невозможным из-за большого числа различимых состояний. Если обобщить состояния программы за некоторый интервал времени ( ттт, где тт - тактовый интервал ЭВМ) и рассматривать их как одно из состояний системы, то можно значительно упростить описание процесса без существенной потери общности. [39]
В настоящем параграфе излагается предложенный А. Н. Колмогоровым и В. А. Успенским [43] способ определения алгоритмов наиболее общего вида. Для построения соответствующей алгоритмической схемы избирают такой путь, чтобы опираться лишь на такие свойства, которые, безусловно, присущи любой алгоритмической схеме, и воплощать эти свойства в те или иные конкретные формы, не допуская при этом никакой потери общности. [40]
В этой главе мы будем предполагать, что конечное множество N выборщиков должно избрать одного кандидата из конечного множества А ( другие возможности мы обсуждаем в гл. Для простоты предположим, что индивидуальные мнения ( или предпочтения) не допускают случаев безразличия. Это предположение ие приводит к существенным потерям общности. [41]
Из-за геометрии задачи производные dwo / дха а, / 3 1, 2 ( здесь и далее, латинские и греческие индексы принимают значения соответственно 1, 2, 3 и 1, 2), не зависят от времени. Без ограничения общности, производные dw3 / dxa в плоских волнах можно считать равными нулю. В самом деле, это не ведет к потере общности, так как эти величины могут быть обращены в ноль вращением твердого тела как единого целого. [42]
Можно характеризовать / просто как целое неотрицательное число, но тогда надо потребовать, чтобы & было положительным. В самом деле, если / и 0, то М имеет только одно ребро в силу связности карты М, и потому операция удаления ребра неприменима. Явная асимметрия между / и Ь не приводит к потере общности. [43]
Естественно, если kef 0, то по прошествии достаточного времени возмущение станет настолько большим, что нелинейные эффекты, не учитываемые в линейной теории, окажутся существенными. Тем не менее возможность взрывного роста возмущений по крайней мере на начальной стадии развития неустойчивости ясно говорит о неустойчивости основного состояния, а рассмотрение относительных скоростей роста различных возмущений позволяет решить вопрос о том, какие возмущения будут преимущественно развиваться. Необходимо отметить, что периодическая форма решения по х не приводит к потере общности, так как произвольное возмущение может быть представлено в виде интеграла Фурье, суммирующего отдельные волновые моды. Предположение об экспоненциальном поведении возмущения во времени, будучи непротиворечивым, не дает самой общей формы его воз-мэжной эволюции. Ведь, вообще говоря, возможны также и алгебраический рост или затухание. Однако если экспонециально растущие решения существуют, то они увеличиваются быстрее любой алгебраической степени. Отсюда следует, что решения типа (7.4.3), если они существуют, являются наиболее важными. Если скорость роста имеет отчетливо выраженный максимум при некотором волновом числе, то такое решение сможет также естественным образом объяснить наблюдаемую волнообразную структуру флуктуации в атмосфере и в океанах. Задача для амплитуды нормальной моды Ф получается подстановкой ( 7с4о1) в ( 7.3 2) и соответствующие граничные условия. [44]
Матрица U ( g), соответствующая элементу группы g, является унитарной ( если матрицы Т эрмитовы); следовательно, мы имеем унитарное представление. Однако то обстоятельство, что мы имеем дело с унитарным представлением, не ведет к потере общности. [45]