Cтраница 3
Таким образом, дивергенция векторного поля в какой-нибудь точке равна отнесенному к единице объема потоку векторного поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую данную точки. [31]
Содержанием этой формулы в ее векторном понимании является, таким образом, утверждение, что поток векторного поля изнутри замкнутой поверхности равен интегралу расхождения этого поля по области, ограничиваемой данной поверхностью. В частности, теорема, доказанная нами в конце § 128, получает следующую формулировку: для того чтобы поток данного векторного поля сквозь любую замкнутую поверхность в данной области 1У равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы расхождение этого поля тождественно обращалось в нуль в области У. [32]
Включаются ли эти направления в плоскости так, чтобы полученное распределение плоскостей было инвариантным относительно потока векторного поля v данного направления. [33]
К вычислению поверхностных интегралов второго рода приводит, например, решение так называемой задачи о потоке векторного поля. [34]
Если поверхность F ориентировать с помощью поля нормалей - п ( и, v), то поток векторного поля ( 2) меняет знак. [35]
Выражение (1.21) является инвариантным ( не зависящим от выбора системы координат) определением дивергенции: дивергенцией векторного поля а ( М) в данной точке М называется предел, к которому стремится отношение потока векторного поля а ( М) через произвольную, окружающую точку М, поверхность к ограниченному этой поверхностью объему А У при стремлении последнего к нулю. [36]
Ввести понятие потока векторного поля удобно с рассмотрения частного случая. [37]
Вычислите поток векторного поля а yi zj xk через круг, полученный при пересечении шара х2 у2 z2 1 и плоскости х у z а в сторону той нормали к плоскости, которая образует острый угол с осью Ох. При каком значении а поток векторного поля а принимает наибольшее и наименьшее значения. [38]
Как было указано в предыдущем параграфе, если рассматривать данное векторное поле как поле скоростей движущейся жидкости, то положительность потока указывает, что количество жидкости, вытекающей из объема, заключенного внутри 5, больше, чем количество жидкости, втекающей в этот объем. Аналогично обстоит дело и когда поток векторного поля отрицателен; в этом случае внутри объема должны находиться стоки. Однако возможно, что в обоих случаях внутри объема находятся и источники, и стоки, но при положительности потока общая обильность источников превосходит обильность стоков, а при отрицательности потока дело обстоит наоборот. Поэтому величина потока характеризует обильность источников и стоков лишь суммарно. [39]
Как было указано в предыдущем параграфе, если рассматривать данное векторное поле как поле скоростей движущейся жидкости, то положительность потока указывает, что количество жидкости, вытекающей из объема, заключенного внутри б1, больше, чем количество жидкости, втекающей в этот объем. Аналогично обстоит дело и когда поток векторного поля отрицателен; в этом случае внутри объема должны находиться стоки. Однако возможно, что в обоих случаях внутри объема находятся и источники, и стоки, но при положительности потока общая обильность источников превосходит обильность стоков, а при отрицательности потока дело обстоит наоборот. Поэтому величина потока характеризует обильность источников и стоков лишь суммарно. [40]
В некоторых случаях при вычислении потока векторного поля через данную поверхность S возможно выбрать на самой поверхности простую систему координат, в которой удобно вычислять поток, не применяя проектирования на координатные плоскости. [41]
Это аналог бифуркации Хопфа для особой точки: после бифуркации возникает окружность, инвариантная под действием отображения последования. Эта окружность соответствует тору, инвариантному относительно потока векторного поля. [42]
Очень часто, объясняя математические понятия, широко используемые в физике ( или в какой-либо другой области знания), они не перекидывают мостика, связывающего эти понятия с их традиционными применениями, а это необходимо делать. Подобная ситуация случается, например, с той же дельта-функцией или с теорией скалярных и векторных полей. Так, автору многократно приходилось убеждаться, что после изучения в курсе анализа понятий дивергенции, потока векторного поля и доказательства теоремы Гаусса - Остроградского у студентов вызывал затруднение ответ на вопрос: чему равна дивергенция напряженности поля точечного единичного электрического заряда на некотором расстоянии от него. [43]
Следует отметить еще один близкий по духу упрек математикам. Очень часто, объясняя математические понятия, широко используемые в физике ( или в какой-либо другой области знания), они не перекидывают мостика, связывающего эти понятия с их традиционными применениями, а это необходимо делать. Подобная ситуация случается, например, с той же дельта-функцией или с теорией скалярных и векторных полей. Так, автору многократно приходилось убеждаться, что после изучения в курсе анализа понятий дивергенции, потока векторного поля и доказательства теоремы Гаусса - Остроградского у студентов вызывал затруднение ответ на вопрос: чему равна дивергенция напряженности поля точечного единичного электрического заряда на некотором расстоянии от - него. [44]