Cтраница 2
Из результатов Н. Н.Лузина 1915 г. следовало, что проекция униформного В-множества на ось ОХ всегда является В-множеством и что всякое В-множество является проекцией униформного GS. Эта теорема была получена при помощи первой теоремы отделимости. [16]
Однако в том случае, когда все неявные функции у, принимают не более чем счетное число различных значений, то проекция множества U является В-множеством и выделение однозначных униформи-зирующих В-функций оказывается возможным. [17]
Я размышлял также о том, что все мои самые значительные работы имели под собою вполне определенную эмоциональную базу: это в полной мере относится к моей первой работе о В-множествах. Весь цикл работ по абстрактной топологии в этом смысле был посвящен Павлу Самуиловичу, a Dimensionstheorie - тебе. Кляземскому нашему житью у посвящены Local properties, а комаровскому - с одной стороны, второй цикл работ по теоретико-множественной топологии ( дискретные пространства, бикомпактные расширения), а с другой стороны - общая теория гомологии. [18]
Является ли множество А подмножеством В, если: а) А - х; у, р, В х; у; р, k, б) А-множество парт в аудитории, В-множество предметов в этой же аудитории. [19]
Множество Р унифор-мизует множество EczX X Y, если РаЕ и если Р имеет ту же, что и Е, проекцию на X и проектируется на X взаимно однозначно. Всякое В-множество униформи-зуется С А - множеством. Процесс эффективного выбора точки [4] в непустом С А - множестве позволил получить более сильный результат: всякое С А - множество униформизуется СА - множеством. Существует Л - множество в евклидовой плоскости, не униформизуемое ни Л - множеством, ни СЛ-множе-ством ( см., напр. В вопросе о том, в каких случаях В-множество может быть униформизовано В-множеством, наиболее общий результат имеет вид: всякое плоское В-множество, пересекающееся с прямыми х const по множествам типа Fa, униформизуется В-множеством. При этом возникли и другие задачи: о природе проекций В-множеств, о расщеплении множеств, о накрытии множеств, о природе множества всех тех точек проекции данного В-множества Е, прообразы к-рых ( в пересечении с Е) обладают нек-рым фиксированным свойством. [20]
В-множество содержит совершенное подмножество. Из этого следовало, что всякое несчетное В-множество имеет мощность континуума. При этом П. С. Александровым была построена Л - онерация. Я - Суслин построил новый класс множеств, более широкий, чем класс В-мпо-жеств, получивший впоследствии название класса Л - множеств. [21]
Простые рассуждения показывают, что в нашем случае множества L и Ld совпадают и что множество достижимых точек множества F, расположенных на оси Oz, есть построенное ранее на этой оси Л - множество. Следовательно, множество точек L [ 0z не является В-множеством, и значит, L Ld также не есть В - множество. [22]
Тип связи обозначает степень ассоциации типов сущностей. Определим тип связи с помощью отображения т: А - В, где А и В-множества экземпляров сущностей. Если любому заданному экземпляру аеА ставится в соответствие единственный или ни одного экземпляра be В. Если ни т, ни тГ1 не являются функциональными отображениями, то говорят, что между А и В существует связь типа многие - ко - многим или М: N. Связи, соответствующие бинарным отношениям, будем называть бинарными взаимосвязями. [23]
Один из наиболее важных вопросов - вопрос о мощности - множеств - был решен П. С. Александровым [1] в 1916, построившим для этого А-операцию. Им было показано, что посредством Л - операции, отправляясь от интервалов, можно построить любое В-множество и что всякое несчетное множество, полученное путем А - операции ( и называемое Л - м н о ж е-с т в о м), содержит совершенное множество и, значит, имеет мощность континуума. Все Л - множества измеримы и обладают Бэра свойством. [24]
Множество U точек пространства т р измерений, где выполнены равенства ( 1), является В-множеством. Однако множество, где определены неявные функции, является проекцией множества U на пространство / п-измерений и может не быть В-множеством. [25]
Неоднократно высказывалось предположение, что такое же явление должно иметь место во всех классах, но установить этот результат долгое время не удавалось. Только в 1940 г. Л. В. К е л д ы ш [12] удалось доказать существование таких топологических типов во всех классах В-множеств и детально выяснить их строение. Главные результаты Л. В. Келдыш [12] состоят в следующем: элемент класса а называется универсальным, если из него можно высечь гомеоморф любому другому элементу класса а или б-множеству - более низкого класса с помощью совершенного множества; во всяком классе л существуют универсальные элементы. Элемент класса а называется каноническим, если он обладает следующими свойствами: 1) всякая порция го также является элементом класса а; 2) он первой категории на своем замыкании; 3) он универсален. Оказалось, что во всяком классе а существует канонический элемент, что всякие два канонические элемента класса а между собой гомеоморфны и что всякий элемент класса а есть сумма одного канонического элемента класса а и счетного числа множеств низших классов. [26]
Значение индексов решет далеко не исчерпывается вопросами, связанными со строением конституант. Имеет место следующий принцип сравнения индексов: пусть pt ( х) и ( 52 ( х) - два индекса решет, составленных из В-множеств. [27]
Приведем в заключение пример плоского множества О8, для которого множество достижимых точек, соответственно достижимых в узком смысле, не является Л - множеством. Наконец, в канторовом совершенном множестве, расположенном на отрезке O y l оси Оу, возьмем какое-нибудь подмножество D, являющееся Л - множеством, но не являющееся В-множеством. [28]
В частности, им была доказана теорема о том, что при очень общих условиях каждая Ss-операция порождает трансфинитную систему расширяющихся классов множеств, отправляясь от замкнутых множеств. В-множества, являются частными случаями Ss-операций. Одним из наиболее значительных результатов их исследований является j общий метод, позволяющий во многих случаях определять, к какому ] проективному классу принадлежат множества, построенные с помощью; некоторой Ss-операции. Этот метод явился ключом к выяснению того, что; все С-множества входят во второй класс проективных множеств. [29]
Точка зрения теории множеств при самом своем возникновении позволила глубоко проникнуть в сущность непрерывности и показала, что понятие функции, лежащее в основе математического анализа, гораздо более сложно и многообразно, чем это предполагали представители классического направления в математике. В связи с этим многие обстоятельства, считавшиеся твердо установленными, оказались поколебленными, и многие факты приобрели совершенно иной смысл. С другой стороны, были выделены классы В-функций и В-множеств, строение которых в значительной степени удалось изучить и которые играют особенно важную роль в теории функций и математическом анализе. [30]