В-множество

Cтраница 3

Множество U точек пространства т р измерений, где выполнены равенства ( 1), является В-множеством. Однако множество, где определены неявные функции, является проекцией множества U на пространство / п-измерений и может не быть В-множеством. [31]

С природой конституант СЛ-множеств связан целый ряд интересных вопросов, близких к вопросу о мощности СЛ-множеств. Известны примеры СЛ-множеств, у которых классы конституант неограниченно растут ( Л у з и и [32]), но остается открытым в опрос о том, существует ли СЛ-множество, у которого все конституанты имеют ограниченные классы. Решение этого вопроса, с одной стороны, явилось бы приближением к вопросу о построении СЛ-множества без совершенного ядра-у такого множества все конституанты не более, чем счетны. С другой стороны, это дало бы пример Xi В-множеств ограниченных классов, построенных без помощи аксиомы Цермело. [32]

К указанным операциям относятся объединение, пересечение, взятие дополнения и так далее. Множества, измеримые по Борелю, получили название бореяевских множеств, или В-множеств. [33]

Множество Р унифор-мизует множество EczX X Y, если РаЕ и если Р имеет ту же, что и Е, проекцию на X и проектируется на X взаимно однозначно. Всякое В-множество униформи-зуется С А - множеством. Процесс эффективного выбора точки [4] в непустом С А - множестве позволил получить более сильный результат: всякое С А - множество униформизуется СА - множеством. Существует Л - множество в евклидовой плоскости, не униформизуемое ни Л - множеством, ни СЛ-множе-ством ( см., напр. В вопросе о том, в каких случаях В-множество может быть униформизовано В-множеством, наиболее общий результат имеет вид: всякое плоское В-множество, пересекающееся с прямыми х const по множествам типа Fa, униформизуется В-множеством. При этом возникли и другие задачи: о природе проекций В-множеств, о расщеплении множеств, о накрытии множеств, о природе множества всех тех точек проекции данного В-множества Е, прообразы к-рых ( в пересечении с Е) обладают нек-рым фиксированным свойством. [34]

Точка зрения теории множеств при самом своем возникновении позволила глубоко проникнуть в сущность непрерывности и показала, что понятие функции, лежащее в основе математического анализа, гораздо более сложно и многообразно, чем это предполагали представители классического направления в математике. В связи с этим многие обстоятельства, считавшиеся твердо установленными, оказались поколебленными, и многие факты приобрели совершенно иной смысл. С другой стороны, были выделены классы В-функций и В-множеств, строение которых в значительной степени удалось изучить и которые играют особенно важную роль в теории функций и математическом анализе. В результате работ этих ученых возникли два узловых вопроса теории множеств, во-первых, детальное изучение строения В-множеств, в первую очередь выяснение вопроса о их мощности и, во-вторых, построение новых классов множеств, не являющихся В-множествами, не прибегая к неэффективным средствам вроде аксиомы Цермело. [36]

Большое значение для дальнейшего развития теории множеств имела построенная Н. Н. Лузиным операция решета. Систематическое использование операции решета позволило Л у з и ну [25] придать теории А-множеств законченный и чрезвычайно изящный вид. Этот же аппарат показал, что всякое А-множество, и также всякое С А-множество является суммой Xi попарно не пересекающихся В-множеств, получивших название конституант. Этим, в частности, без помощи аксиомы Цермело отрезок был представлен как сумма Хл В множеств. Оказалось, что во многих случаях счетная сумма конституант СА-множества является носителем основных свойств всего множества. Например, если некоторое А-множество содержится внутри некоторого СА-множестеа, то оно непременно содержится внутри счетного числа конституант. Отсюда следует, что если СА-множество имеет совершенное ядро, то оно имеет конституанту с совершенным ядром. Если некоторое СА-множество имеет положительную меру, то найдется счетное число ко конституант, таких, что их сумма имеет ту же меру. [37]

Вопрос о том, какова мощность множества связных компонент б-множеств был решен с привлечением методов дескриптивной теории множеств. Элементарными средствами А. М. Роднянский доказал, что мощность множества связных компонент F, либо не более, чем счетная, либо континуум. В доказательстве этого факта существенную роль играют методы дескриптивной теории множеств, в частности теорема Н. Н. Лузина о стационарности последовательностей F. Дальнейшее исследование этого вопроса было проведено молодым казахским математиком А. Одним из наиболее ранних применений дескриптивной теории множеств в смежных областях был результат П. С. Урысона о том, что множество достижимых точек границы пространственной области всегда является А-множеством, но может не быть В-множеством. [43]

Страницы: 1 2 3