Cтраница 3
Время разбивается на малые интервалы. Непрерывная среда заменяется набором дискретных узловых точек, достаточно близко расположенных друг к другу. Дифференциальные уравнения исходной системы заменяют их конечно-разностным аналогом, используя, например, правило Симпсона. [31]
В отличие от аналогового интегратора в цифровом интеграторе не возникает проблемы дрейфа, так как интегрирование реализуется с помощью программы на ЭВМ, на которую не оказывают влияния остаточные заряды на емкостях. Рассмотрим три наиболее распространенных метода цифрового интегрирования - формулу прямоугольника, правило трапеций и правило Симпсона. [32]
В этом параграфе мы рассмотрим один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интегрирования, а именно правило Симпсона. Этот метод аналогичен правилу трапеций в той части, что интегрирование производится путем разбиения общего интервала интегрирования на множество более мелких отрезков; однако теперь для вычисления площади над каждым из них через три последовательных ординаты разбиения проводится квадратичная парабола. Можно было бы ожидать, что аналогично тому, как правило трапеций дает точный результат при интегрировании линейных функций, правило Симпсона даст точный результат при интегрировании многочленов второго порядка; в действительности же получается несколько парадоксальный результат: формула Симпсона дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно. Поэтому при всей своей простоте этот метод весьма точен, хотя формула для численного интегрирования получается ненамного сложней, чем для правила трапеций. Простота и точность правила Симпсона сильно способствуют его широкому применению при вычислениях на ЭЦВМ. [33]
Иначе говоря, площадь кривой равна произведению длины L основания кривой на среднюю арифметическую из ординат, расставленных некоторым определенным способом. Из ф-лы видно, что все коэф-ты при ординатах равны 1, что облегчает и уменьшает вычислительную работу. Число ординат можно взять 2, 3, 5, 7 и 9, причем точность результата при 7 ординатах будет не меньшая, чем по правилу Симпсона при 20 ординатах. Чтобы расставить ординаты, нужно длину L основания кривой умножить на коэф-ты, приводимые в столбце А табл. 4, и полученные величины откладывать с какого-либо конца основания кривой. [34]
Эта формула показывает, что сравнительно небольшой ценой ( добавлением производных в двух конечных точках интервала) мы весьма значительно выигрываем в точности. Наше приближение теперь оказывается пятой степени. Это значит, что формула является точной для любой функции / ( х), которая может быть представлена каким-либо полиномом пятой степени. Правило Симпсона дает точные результаты лишь для полиномов третьей степени. В случае гладких функций две дополнительные степени создают большое увеличение точности. [35]
Эта формула показывает, что сравнительно небольшой ценой ( добавлением производных в двух конечных точках интервала) мы весьма значительно выигрываем в точности. Наше приближение теперь оказывается пятой степени. Это значит, что формула является точной для любой функции f ( x), которая может быть представлена каким-либо полиномом пятой степени. Правило Симпсона дает точные результаты лишь для полиномов третьей степени. В случае гладких функций две дополнительные степени создают большое увеличение точности. [36]
Существуют формулы для интегрирования дифференциальных уравнений, отличные от тех, которые можно получить непосредственно методом неопределенных коэффициентов. Одним из хорошо известных методов является метод Рунге. Его преимущества в том, что он дает достаточно высокую точность и не требует специальных методов для начала решения. Он основан на правиле Симпсона, приведенном в разд. [37]
В этом параграфе мы рассмотрим один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интегрирования, а именно правило Симпсона. Этот метод аналогичен правилу трапеций в той части, что интегрирование производится путем разбиения общего интервала интегрирования на множество более мелких отрезков; однако теперь для вычисления площади над каждым из них через три последовательных ординаты разбиения проводится квадратичная парабола. Можно было бы ожидать, что аналогично тому, как правило трапеций дает точный результат при интегрировании линейных функций, правило Симпсона даст точный результат при интегрировании многочленов второго порядка; в действительности же получается несколько парадоксальный результат: формула Симпсона дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно. Поэтому при всей своей простоте этот метод весьма точен, хотя формула для численного интегрирования получается ненамного сложней, чем для правила трапеций. Простота и точность правила Симпсона сильно способствуют его широкому применению при вычислениях на ЭЦВМ. [38]
Последние члены в обеих формулах в действительности в итерационном процессе не используются и служат лишь для оценки ошибки усечения. Метод Милна относят к методам четвертого порядка точности, так как в нем отбрасываются члены, содержащие h в пятой и более высоких степенях. Может возникнуть вопрос, зачем вообще нужна коррекция, если прогноз имеет четвертый порядок точности. Ответ на этот вопрос дает оценка относительной величины членов, выражающих погрешность. В данном случае погрешность усечения при коррекции в 28 раз меньше и поэтому представляет большой интерес. Вообще итерационные формулы гораздо более точны, чем формулы прогноза, и поэтому их использование оправданно, хотя и связано с дополнительными трудностями. Несмотря на то что формула Милна содержит меньший числовой коэффициент ( 1 / 90) перед отбрасываемым членом, ее используют реже, чем другие ( с большими отбрасываемыми членами), так как ей присуща неустойчивость. Это означает, что погрешность распространения может расти экспоненциально, причем этот вывод справедлив для всех формул коррекции, основанных на правиле Симпсона. [39]