Cтраница 2
Между тем, в случае дифференцируемых функций активации рецепт нахождения производных по любому весу сети дается т.н. цепным правилом дифференцирования, известным любому первокурснику. [16]
Для Л / HL, КЕ, FB - производных первого порядка цепное правило справедливо в классе всех ШШ; для - /, с, 4 и с - производных первого порядка цепное правило справедливо в классе всех ТШ. [17]
Мы должны либо: 1) исключить Т подстановкой T - g ( P, Е) в V f ( P, Т), выражая таким образом явно зависимость V от Р я Е, либо 2) использовать цепное правило. При некоторых теоретических выкладках в термодинамике и других разделах формулы для функций / и g неизвестны, и тогда использование цепного правила совершенно необходимо. [18]
Именно такое часто случается, когда мы делаем допущение В для доказательства импликации В-С. Мы применяем цепное правило и модус поненс к В и другим посылкам, чтобы в конце получить С. Однако можно пойти по неправильному пути, и тогда будет доказано много предложений, большинство из которых не имеют отношения к нашей цели. Этот метод носит название прямой волны и имеет тенденцию порождать лавину промежуточных результатов, если его запрограммировать для компьютера и не ограничить глубину. [19]
Затем нужно просмотреть таблицу и проверить, что во всех строках, где все формулы А имеют значение истина, формула В также имеет значение истина. В примере на цепное правило из предыдущего раздела в роли A3 будет Р - Q, ив нашей таблице будут перечислены все 16 возможных комбинаций истинностных значений атомов Р, Q, R, S. Этот метод всегда применим, но может оказаться слишком трудоемким. Мы, однако, используем его для обоснования основных результатов, на которых основан следующий метод. [20]
Иными словами, мы хотим узнать, когда функция вида (3.4), соответствующая функции и h ( у), будет решением системы А. Нужно просто применить цепное правило. [21]
Идея цепного метода в индексных расчетах была выдвинута А. Маршаллом в 1887 г., а само цепное правило изложено А. Флек-сом двадцать лет спустя. [22]
Оно позволяет нам соединить две формулы, удалив из одной атом А, а из другой А. Из приведенной выше таблицы видно, что правило резолюции можно рассматривать как аналог цепного правила в применении к формулам, находящимся в конъюнктивной нормальной форме. [23]
Мы должны либо: 1) исключить Т подстановкой T - g ( P, Е) в V f ( P, Т), выражая таким образом явно зависимость V от Р я Е, либо 2) использовать цепное правило. При некоторых теоретических выкладках в термодинамике и других разделах формулы для функций / и g неизвестны, и тогда использование цепного правила совершенно необходимо. [24]
На самом деле свойства ( а), ( Ь) и ( с) вместе с действием d на функции служат однозначной характеризацией дифференциала, и потому d фактически не зависит от выбора локальных координат. Наконец, чтобы доказать (1.56), нужно убедиться в справедливости этой формулы лишь в случае функций: F ( df) dF ( f), где F ( f) / F, а дальнейшее сводится к обычному цепному правилу. [25]
Значит, замена переменных индуцирует линейное преобразование А с выписанной выше матрицей, которое отображает / 1 в себя. Определитель равен ( 1 а) 9, и, как мы и ожидали, матрица обратима в точности тогда, когда обратима замена переменных в окрестности начала. Аналогичный результат для пространства струй от п переменных вытекает из цепного правила для высших производных. [26]
В этой главе рассматриваются понятия вторых производных, дважды диф-ференцируемости и второго дифференциала. Особое внимание уделяется связи между дважды дифференцируемостью и аппроксимацией второго порядка. Мы определяем матрицу Гессе ( для векторных функций) и находим условия для ее ( столбцовой) симметрии. Мы также получаем цепное правило для матриц Гессе и его аналог для вторых дифференциалов. Доказывается теорема Тейлора для вещественных функций. Наконец, очень кратко обсуждаются дифференциалы высших порядков и показывается, как анализ векторных функций можно распространить на матричные функции. [27]
Иногда бывает, что z f ( x y), а обе переменные х и у представляют собой функции некоторой другой переменной и. Тогда выбор и определяет z, так как х и у определены для любого допустимого значения и. Таким образом, z будет непрямой функцией, и справедливо задать вопрос, какова скорость изменения х по отношению к и. Этот вопрос ведет к обобщению цепного правила, обсуждавшегося на стр. [28]
Поскольку мы хотим решить уравнения (5.1), рассмотрим отображение ( а, т) - ( х, у), которое они определяют. Согласно теореме Тейлора, функции, задающие это отображение, разлагаются в ряды по степеням а и т, причем члены с отрицательными степенями отсутствуют. Далее мы покажем, что отображение (5.1) взаимно однозначно и что его якобиан не обращается в нуль. Это означает, что обратное отображение ( х, у) - (, т) также имеет производные всех порядков, которые можно вычислить по цепному правилу. [29]
Наше поле степенных рядов очевидным образом допускает дифференцирование. Немедленно проверяется, что формула Dty va 1 определяет дифференцирование DI этого поля. Аналогично можно ввести дифференцирование Du. Классическая формула дифференцирования сложной функции ( цепное правило) Duy DtU Dty ( или лучше dy / du du / dt dy / dt) остается верной и здесь, будучи чисто формальным тождеством. [30]