Cтраница 2
В соответствии с тем, что было ска - - зано в главах 13 - 14, теорию случайных величин и распределений вероятностей, развитую во II части книги, следует рассматривать как систему математических предложений, служащую моделью явления статистической устойчивости, наблюдаемого в связи с последовательностями случайных экспериментов. [16]
В предисловии упоминалось, что рассматриваемая аксиома имеет чрезвычайно много эквивалентов, или, как говорят порой, эквиполлентов, и в, связи с этим мы сослались на книгу Рабиных [1], в которой сформулировано большое число математических предложений, которые, с одной стороны, вытекают из аксиомы выбора, а с другой - имеют ее своим следствием. Уже в первом издании указанной книги ( 1963 г.) авторы писали: Было бы безнадежной задачей попытаться включить все формы аксиомы выбора, которые появились в литературе, поэтому мы выбрали формы, которые, по нашему мнению, или часто использовались на практике, или необычны, или же особенно слабы или сильны [ 1, с. После этого было открыто еще много эквивалентов и их появляется все больше и больше с каждым годом. [17]
Если же аксиоматика формальна, то по крайней мере нам нужна уверенность, что теоремы следуют из аксиом; и, кроме того, чтобы математическое творчество не сводилось к бессмыслице, должно иметься какое-то соответствие между этими результатами и некоторой действительностью, лежащей вне аксиоматической теории. Формально аксиоматизированные математические предложения не могут составить всей математики; должна иметься также интуитивно понимаемая математика. Если мы вынуждены отказаться от нашей прежней веры, что она содержит всю арифметику, анализ и теорию множеств, то мы не можем испытать полного удовлетворения, пока не узнаем, в чем была ошибочность этой веры и где теперь должна проходить разделительная черта. [18]
В процессе вычислений часто возникает необходимость, не производя деления, выяснить, делится ли одно натуральное число на другое. Для этого используют математические предложения, называемые признаками делимости. [19]
А именно: каждое математическое предложение имеет форму: Я выполнил построение со следующими свойствами... Все четыре логические связки сохраняют эту форму предложения. Удобно при этом понимать слово построение в широком смысле, а именно так, чтобы оно могло обозначать и общий метод построения. [20]
К 1923 г. он при содействии Бернайса далеко продвинулся в разработке теории доказательства и в докладе, сделанном на заседании Немецкого общества естествоиспытателей, предложил набросок этой теории. Он считал аксиому Цермело одним из самых важных математических предложений и задался целью доказать ее для случая произвольного семейства множеств действительных чисел, рассматривая такое доказательство как основное применение своей теории доказательства. [21]
Хотя общепринятая формулировка более удобная и краткая, однако, формулируя данную теорему в форме если А, то В, мы выясняем, что именно дается по условию, при котором справедливо заключение. Такое расчленение формулировки теоремы помогает учащимся лучше уяснить точный смысл математических предложений. [22]
Выделение нового принципа происходит на основе анализа способов рассуждений, реально применявшихся в математике, а оправданность его проистекает из потребности в нем при разработке науки и непротиворечивости следствий, вытекающих из него. Этим требованиям удовлетворял введенный Цермело принцип выбора: он применялся многими математиками, без него недоказуемы важные математические предложения ( таких Цермело указал только семь, но некоторые из них, вроде непустоты декартова произведения непустых множеств, лежат в основе целой теории), его применения не приводили к противоречиям. Особенно возмутило Цермело предложение Пеано объявить недоказанными те математические утверждения, которые получены с применением аксиомы выбора, поскольку последняя не содержится в числе принимавшихся им принципов математических рассуждений, и в связи с этим Цермело писал: Фундаментальные факты или проблемы изгонять из науки просто, ибо их нельзя согласовать с определенными принятыми принципами, но это было бы все равно, как если бы в геометрии мы запретили дальнейшую разработку теории параллельных, поскольку доказано, что соответствующая аксиома недоказуема. В действительности же принципы должны выводиться из науки, а не наука из раз и навсегда установленных принципов. [23]
Это последнее замечание напоминает нам, что математика имеет своею обязанностью служить подспорьем естествознанию. Однако несомненно, что отдельные положения теоретической физики совсем не носят того характера, каким должны обладать по Броуеру математические предложения, каждое из которых в отдельности обладает своим собственным, целиком реализуемым в интуиции смыслом; при сопоставлении с опытом в теоретической физике приходится брать только всю систему как целое. Мы должны отчетливо отличать феноменальное знание, интуитивное узрение ( anschauender Einsicht), данные, например, в суждении такого сорта: этот ( данный мне в настоящем акте восприятия) лист обладает зеленым ( данным мне в том же самом акте восприятия) цветом - от теоретического построения. Знание дает нам истину, и органом его является зрение в широком смысле этого слова. В дальнейшем, когда речь будет итти о физике, мы рассмотрим подробнее вопрос о том, чем еще, кроме согласованности, определяется теоретическое построение. Хотя интуитивная истина и не является здесь последней инстанцией, но все же нельзя сказать, что она не играет никакой роли. Сам Гильберт говорит об этом следующее: Та роль, которая остается на долю бесконечного... Канта, понимать логическое понятие, которое превосходит всякий опыт и дополняет конкретно данное до целостности ( Ober das Unendliche, Math. Впрочем, возможно, что полный ответ на этот вопрос можно получить лишь обратившись к истории, реализующейся в нас в историческом процессе жизни духа, окончательным результатом которой никогда не может оказаться символическое построение мира, в противоположность феноменальному познанию, в которое хотя и могут в силу человеческого несовершенства вкрасться ошибки, но которое по существу своему всегда неизменно. [24]
Некоторые из его открытий не изложены в нашей книге, однако здесь имеется многое превосходное, чего нет в других местах. В Оптике автор остерегался, насколько мог, смешивать геометрические доказательства с философскими доводами, и там, где было необходимо дать математическое предложение, доказательства его не было. Здесь же, наоборот, он пространно доказывает все геометрическое, необходимое для понимания; может быть, он опустил это в другой книге по указанной причине, хотя едва ли он не знал, что лекции в некоторой мере увидели свет, так как они при публичных чтениях в Кэмбридже не только хранились в архиве, но в других экземплярах сохранялись на руках друзей. В отношении первых элементов оптики наш автор всюду следует оптическим лекциям Барроу. То, что Барроу приписывал любому свету, Ньютон исследовал дальше и применил к различно преломляемым лучам, что для Барроу было не известно. Когда же наш автор объяснил ему, то все было одобрено Барроу, как свидетельствует одно из писем д-ра Коллинса, изданное в его переписке, в котором Барроу, говоря о лекциях Ньютона, называет их трудом, больше коего едва ли имеет наше время. В лекциях доказываются многие предложения, которые автор вместе с Барроу сообщил в его лекциях без доказательств. Так, доказывается способ нахождения фокуса сферических поверхностей и других кривых поверхностей при помощи линий, определяющих кривизну. Также определяются каустики ( как их называют), происходящие от преломления. [25]
Исторически дело сложилось так, что Цермело в 1904 г. [2], когда вообще не существовало какой-либо аксиоматической теории множеств, доказал, что утверждение о вполне упорядочении вытекает из аксиомы выбора. Борель [5] сразу же возразил: по его мнению, Цермело не доказал последнее утверждение, а лишь установил эквивалентность его с принятой аксиомой, и с тех пор эти два математических предложения считаются эквивалентными. Так что, с его точки зрения, о рассматриваемой эквивалентности не может быть речи. Тем не менее большинство математиков-специалистов считают, что аксиома иыбора и утверждение о возможности вполне упорядочить всякое множество являются математическими предложениями, которые выводимы одно из другого. Мы принимаем это мнение как некую экспертную оценку. Сформулируем теперь нужные для последующего эквивалентные аксиоме выбора предложения. [26]
Однако он подчеркивает, что эти нереальные - идеальные - предложения необходимы для придания полноты нашей математической системе. Таким образом, полностью отказываясь от требования осмысленности, Гильберт противостоит Брауэру, призывавшему отбросить все лишенное смысла; то, что Гильберт стремится установить, - это не истинность конкретного individual математического предложения, а непротиворечивость системы. В этом и только в этом смысле он обещает сохранить в целости заботливо взращенную нами классическую математику. [27]
Таким образом, непосредственная проблема устранения парадоксов поглощается более широкой проблемой обоснования математики и логики. Какой смысл имеют математические предложения и на какого рода доказательствах они основаны. С этой широкой проблемой или комплексом проблем философия имеет дело независимо от того, что в окраинных областях математики появились парадоксы. [28]
На самом деле диссертация содержит, помимо блестящей демонстрации схоластической эрудиции, некоторые математические результаты. Она объясняет и решает основные комбинаторные задачи, приводящие к биномиальным коэффициентам и к факториалу, но почти ничего больше. Эти задачи в 1666 году не были так тривиальны, как в наше время, но многие из результатов Лейбница были известны до него. За математическими предложениями следуют приложения, большинство которых представляются современному читателю бесплодными или фантастическими, что в некоторых случаях было ясно самому Лейбницу. [29]
Слово логика имеет несколько различных значений. Я не буду пытаться дать определение интуиционистской логики, подобно тому как я не начал этот курс с определения математики. Все же полезно сделать некоторые предварительные замечания. Наша логика имеет дело только с математическими предложениями. Мы не будем касаться вопроса, допускает ли она применения за пределами математики. Буквы р, q, г будут использоваться в этой главе как переменные для математических предложений; готические буквы р, q, r будут использоваться как сокращения для математических предложений. Я не намерен приводить здесь полное формальное изложение интуиционистской логики; формальная система, кодифицирующая все известные к настоящему моменту способы логического вывода в интуиционистской математике, доступно изложена в книге Клини [ Клини, 1952 ], где читатель найдет также обзор математических исследований, касающихся этой системы. Сейчас я только привлеку ваше внимание к некоторым формулам, выражающим интересные способы рассуждения, и покажу, почему эти способы интуитивно ясны в сфере интуиционистской математики. [30]