Cтраница 3
Собственно говоря, предел никогда не совпадает или же никогда не оказывается равным количеству, пределом которого является, но оно все более и более к нему приближается и может отличаться от неге сколь угодно мало. Например, круг есть предел вписанных и описанных многоугольников, ибо он никогда строго не совпадает с ними, хотя они и могут приближаться к нему до бесконечности. Это понятие может служить для разъяснения некоторых математических предложений. [31]
Исторически дело сложилось так, что Цермело в 1904 г. [2], когда вообще не существовало какой-либо аксиоматической теории множеств, доказал, что утверждение о вполне упорядочении вытекает из аксиомы выбора. Борель [5] сразу же возразил: по его мнению, Цермело не доказал последнее утверждение, а лишь установил эквивалентность его с принятой аксиомой, и с тех пор эти два математических предложения считаются эквивалентными. Так что, с его точки зрения, о рассматриваемой эквивалентности не может быть речи. Тем не менее большинство математиков-специалистов считают, что аксиома иыбора и утверждение о возможности вполне упорядочить всякое множество являются математическими предложениями, которые выводимы одно из другого. Мы принимаем это мнение как некую экспертную оценку. Сформулируем теперь нужные для последующего эквивалентные аксиоме выбора предложения. [32]
Поэтому и сочинение это предлагается нами как математические основания физики. Вся трудность физики, как будет видно, состоит в том, чтобы по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам объяснить остальные явления. Для этой цели предназначены общие предложения, изложенные в книгах первой и второй. В третьей же книге мы даем пример вышеупомянутого приложения, объясняя систему мира, ибо здесь из небесных явлений при помощи предложений, доказанных в предыдущих книгах, математически выводятся силы тяготения тел к Солнцу и отдельным планетам. Затем по этим силам также при помощи математических предложений выводятся движения планет, комет, Луны и моря. Было бы желательно вывести из начал механики и остальные явления природы, рассуждая подобным же образом, ибо многое заставляет мемя предполагать, что все эти явления обусловливаются некоторыми силами, с которыми частицы Тел вследствие причин покуда неизвестных или стремятся друг к другу и сцепляются в правильные фигуры, или же взаимно отталкиваются и удаляются друг от друга. [33]
Слово логика имеет несколько различных значений. Я не буду пытаться дать определение интуиционистской логики, подобно тому как я не начал этот курс с определения математики. Все же полезно сделать некоторые предварительные замечания. Наша логика имеет дело только с математическими предложениями. Мы не будем касаться вопроса, допускает ли она применения за пределами математики. Буквы р, q, г будут использоваться в этой главе как переменные для математических предложений; готические буквы р, q, r будут использоваться как сокращения для математических предложений. Я не намерен приводить здесь полное формальное изложение интуиционистской логики; формальная система, кодифицирующая все известные к настоящему моменту способы логического вывода в интуиционистской математике, доступно изложена в книге Клини [ Клини, 1952 ], где читатель найдет также обзор математических исследований, касающихся этой системы. Сейчас я только привлеку ваше внимание к некоторым формулам, выражающим интересные способы рассуждения, и покажу, почему эти способы интуитивно ясны в сфере интуиционистской математики. [34]
А именно: каждое математическое предложение имеет форму: Я выполнил построение со следующими свойствами... Все четыре логические связки сохраняют эту форму предложения. Удобно при этом понимать слово построение в широком смысле, а именно так, чтобы оно могло обозначать и общий метод построения. Если мы поступим таким образом, а мы так и сделаем, то всякая логическая формула будет выражать математическое предложение. [35]
Слово логика имеет несколько различных значений. Я не буду пытаться дать определение интуиционистской логики, подобно тому как я не начал этот курс с определения математики. Все же полезно сделать некоторые предварительные замечания. Наша логика имеет дело только с математическими предложениями. Мы не будем касаться вопроса, допускает ли она применения за пределами математики. Буквы р, q, г будут использоваться в этой главе как переменные для математических предложений; готические буквы р, q, r будут использоваться как сокращения для математических предложений. Я не намерен приводить здесь полное формальное изложение интуиционистской логики; формальная система, кодифицирующая все известные к настоящему моменту способы логического вывода в интуиционистской математике, доступно изложена в книге Клини [ Клини, 1952 ], где читатель найдет также обзор математических исследований, касающихся этой системы. Сейчас я только привлеку ваше внимание к некоторым формулам, выражающим интересные способы рассуждения, и покажу, почему эти способы интуитивно ясны в сфере интуиционистской математики. [36]
Теория множеств) определяется матом, фактом существования различных вполне упорядоченных счетных множеств - и только. Никакого постулирования независимого априорного существования трансфинитного при этом не предполагается: Трансфинитные числа не являются настоящими числами. То, что при современном состоянии науки мы называем трансфинитным числом, является только меткой для того, чтобы узнавать и отличать промежуточный шаг неограниченного регулярного процесса, употребляемого для получения решения предложенной математической проблемы ( там же, с. В этой борьбе эффективисты заняли последовательно эмпирическую - и в целом материалистическую ( хотя часто в форме традиц. Положение это принимается Лебегом как в его историческом аспекте ( все развитие математики определяется предъявляемыми к ней требованиями практики), так и в логическом аспекте ( математические предложения являются концентратом нашего опыта, относящегося к действительному миру, руководящим нашей дальнейшей практической деятельностью, а не относятся к особому миру идеальных математических сущностей или не являются продуктом свободного творчества нашего духа) ( Предисловие к кн.: Лебег А. [37]