Cтраница 3
Следовательно, при движениях с числом Рейнольдса, лежащим ниже этой границы, сопротивление достаточно хорошо определяется формулою Стокса. Стокса, выведенный в предположении непрерывности среды, более уже неприменим. [31]
Предыдущие результаты основаны на предположении непрерывности полей напряжения и скоростей. Между тем простые примеры ( изгиб, кручение, см. § § 25, 30) свидетельствуют о том, что в предельном состоянии разрывы в напряжениях встречаются весьма часто. В схеме жестко-пластического тела неизбежны и разрывы скоростей. Наконец, иногда удобно строить приближенные разрывные решения. В связи с этим рассмотрим обобщение экстремальных принципов на случай разрывных полей. [32]
При с 0 эта гиперповерхность сводится к точке М, изображающей состояние равновесия в конфигурации С; тогда при е 0 и достаточно малом гиперповерхности ( 5) будут замкнутыми вокруг М, и при возрастании с будут следовать одна за другой таким образом, что каждая будет содержать внутри себя все предыдущие. Это логически следует из одних только предположений непрерывности Н и действительного минимума в М и может быть строго доказано при помощи рассуждений, эквивалентных рассуждениям предыдущего пункта. [33]
Причина, по которой следует отличать эту норму от первоначальной и обозначать ее индексом С, будет ясна из дальнейшего. L получается из функции ы (), непрерывной в замкнутой области G ( в силу предположения непрерывности и ( х)), рассмотрением ее максимального значения в G. Нетрудно показать ( не будем здесь останавливаться на деталях), что и с удовлетворяет всем четырем аксиомам нормы, что и позволяет называть ее нормой. [34]
А) 0 в том и только том случае, если 1 / А есть собственное значение интегрального оператора А. Карлеман, формулы ( 7), ( 8) и ( 9), полученные Фредгольмом в предположении непрерывности ядра K ( s, t), остаются в силе и для любого ядра с интегрируемым квадратом. [35]
Я) 0 в том и только том случае, если 1 / Я есть собственное значение интегрального оператора А. Карлеман, формулы ( 7), ( 8) и ( 9), полученные Фредгольмом в предположении непрерывности ядра K ( s, t), остаются в силе и для любого ядра с интегрируемым квадратом. [36]
Оба основных допул ения, которые были сделаны относительно повеления функции / ( х, у) з области D, именно предположение непрерывности и выполнения условия Липшица, совершенно независимы. Возникает попрос о необходимости этих допущений. [37]
Когда Пуанкаре делал заключение о близости рассмотренных выше сумм к интегралам и о вытекающей отсюда малой величине сумм при больших временах, то он исходил из возможности исключить некоторые начальные состояния системы - возможности, основанной на принципе, называемом им принципом достаточного основания. Согласно Пуанкаре, этот принцип выражает наше право исключить как невероятные такие начальные состояния, при которых отсутствовали бы свойства настолько общие, что они могут быть получены из одного лишь предположения непрерывности закона распределения в начальный момент. Иначе говоря, согласно этому принципу можно исключить, по Пуанкаре, такие начальные состояния, для которых распределения очень большого числа дискретных точек при больших временах не обладали бы свойствами равномерности, общими всем распределениям, непрерывным в начальный момент. [38]
Однако этих условий мало для определения четырех произвольных постоянных, возникших при интегрировании двух различных уравнений второго порядка. Два недостающих условия получаются из предположений, что изогнутая ось балки - непрерывная плавная линия, не имеющая угловых точек. Из предположения непрерывности вытекает, что ординаты, вычисленные при х-т из выражений ( 31) и ( 34), должны совпадать. [39]
Принцип затухающей памяти гласит, что если заданы две предыстории, которые почти совпадают в недавнем прошлом, но могут сильно различаться в отдаленном прошлом, то соответствующие им два значения зависимой переменной должны быть весьма близкими. Это требование удовлетворяется при условии, что функционал состояния предполагается непрерывным в смысле соответствующей топологии пространства предыстории, которая определяет малое расстояние между такими функциями. Точная формулировка принципа затухающей памяти должна быть дана в терминах предположений непрерывности и гладкости функционалов состояния. [40]
Действительная необходимость в полном удовлетворении тех или иных требований ГОСТ должна быть выявлена в каждом случае отдельно, ибо повышенная стоимость аппарата защиты должна быть в полной мере оправдана. Так, например, в большинстве случаев эксплуатации выпрямительных подстанций алюминиевых заводов всегда имеется возможность раз в неделю отключить ртутный выпрямитель, распределив нагрузку, которую он нес, на параллельно с ним работающие, и произвести очистку контактов выключателя, его защищающего, от окислов. Таким образом, в этих случаях необязательно выбирать выключатель для защиты, исходя из предположения непрерывности режима его работы, и тем самым можно избежать неоправданно большого расхода меди на токоведущие части выключателя и не прибегать к напайке серебряных пластинок на подвижный и неподвижный контакты. Другое дело, когда возникает действительная необходимость по условиям технологического процесса или активности окружающей среды в быстродействующем выключателе, рассчитанном на непрерывный режим. Для таких случаев должны быть снижены плотности тока в токо-ведущих частях выключателя, а если нужно, и применены серебряные напайки на контакты. [41]
Внимательное рассмотрение доказательств, проводимых в настоящей книге, показывает, что почти все свойства остаются справедливыми и для этого случая, если только существование исследуемых решений предполагать заранее. В работе [47] исследование уравнений 2-го порядка периодического типа проведено именно в таких предположениях. При этом легко проверить, что каждое решение уравнения ( 24 1) с цо, Д0; оо удовлетворяет уравнению вида ( 5) с теми же или меньшими цо, АО - В работе Дж. Лилло [115] проведено систематическое исследование решений однородных уравнений 1-го порядка без предположения непрерывности заданных функций. [42]
В некоторых случаях представляют интерес расстояния и группировки отдельных точечных распределений. Большинство ГИС не очень-то приспособлены для выполнения такого анализа, но это мы рассмотрим уже в следующей главе. Иногда мы также обнаруживаем, что каждая точка сопровождается дополнительными данными, записанными в любой из четырех шкал измерения. Но в контексте статистической поверхности мы обращаем внимание только нате, которые представлены в числовых шкалах. Если мы можем принять, что имеется непрерывность для таких величин, как массы птиц или размеры стай млекопитающих, представленные отдельными точками, то сможем выполнять операции с этими точечными данными, как если бы они были точечной выборкой топографической поверхности, особенно если они записаны в шкале интервалов или отношений. Все же, предположение непрерывности в большинстве из этих случаев неверно, и нам придется рассматривать и сравнивать эти дискретные события по отдельности, либо статистически, либо через сравнения их пространственных отношений. Этот тип анализа мы рассмотрим опять же в следующей главе. [43]