Cтраница 4
Задача о разложимости в ряды рассматривалась В. А. Стекловым [1], [2], Гильбертом [1] и Кнезером [2], [3]; при более общих предположениях эта задача была рассмотрена Дини в рукописи, составленной в 1904 г. для студентов гаванского университета и опубликованной в рукописном курсе 1910 г. 1) Дини установил критерий равносходимости рядов Штурма - Лиувилля и тригонометрических рядов Фурье ( см. Дини [3], стр. [46]
В дальнейшем мы увидим, что наложенные на / ( х) требования слишком ограничительны и можно получить равномерную сходимость в гораздо более общих предположениях, но пока целесообразно отметить эту теорему, так как даже и в такой форме она оказывается полезной. [47]
Для наших целей достаточно будет предположить, что / ( т) есть непрерывная функция в интервале ( 0, г), хотя решение уравнения может быть дано и в более общих предположениях. [48]
По вышз сделанному предположению начальные и конечные значения q были даны, вследствие чего 5д 0 и 8д4 0 и пояточу правая часть последнего равенства обращалась в нуль; при настоящих более общих предположениях ьто не имеет места. Чтобы правильно понять смысл, в котором взяты вариации, надо вспомнить, что часть искомой вариации, стоящая под знаком интеграла, обращается в пуль только благодаря дифференциальным уравнениям движения, которые рассматриваются как выполненные. [49]
Применяя другие методы, можно показать, что предыдущие результаты, касающиеся существования решения, а не представления его в виде потенциала двойного слоя1), остаются в силе и при гораздо более общих предположениях относительно границы области. [50]