Cтраница 3
На основе соображений, изложенных в главе 11, можно ожидать, что инстантоны в теории Янга-Миллса описывают некоторый процесс туннелирования из основного состояния. Возможность распадной интерпретации ( типа встречавшейся в разделе 11.2 и главе 12) нужно сразу исключить, поскольку классический вакуум в теории - конфигурация А 0 - имеет наименьшую возможную классическую энергию, равную нулю. [31]
Подчеркнем, что интерпретация 9-вакуумов и их невырожденных энергий EQ как обусловленных туннелированием между топологическими вакуумами N является калибровочно-зависи-мой интерпретацией. При определении состояний N) мы использовали калибровочные условия, сводящиеся к А0 0, а также eia ( 00) j для статических классических вакуумов. Мы выбрали эту калибровку потому, что она предоставляет возможность для привлекательной аналогии со значительно более простыми квантовомеханическими проблемами ЗПП и ЧНО. В другой калибровке, однако, интерпретация в общем была бы другой. А однозначно определяется через FHV, вообще нет остаточной калибровочной свободы. Классический вакуум один, и наша картина туннелирования не имеет смысла. Полученные конкретные результаты, а именно существование 9-вакуумов и их энергий EQ. [32]
Таким образом, под действием малых калибровочных преобразований классические вакуумы остаются в том же гомотопическом секторе. Обратно, все члены данного гомотопического класса могут быть связаны малым калибровочным преобразованием. Поэтому классификация классических вакуумов (10.38), основанная на малой калибровочной эквивалентности, становится такой же, как описанная выше гомотопическая классификация. Каждый класс характеризуется своим числом оборотов N и играет ту же роль, что и один из минимумов потенциала ( q 2nN) в ЗПП. [33]
Это аналогично построению основного состояния в ЗПП вокруг одного только минимума q 0, в то время как правильное основное состояние на самом деле размазано в волновые пакеты вокруг всех минимумов. Подобным образом мы найдем, что здесь правильное вакуумное состояние производит выборку из всех классических вакуумов. Но анализ следует проводить очень осторожно, поскольку за счет калибровочной инвариантности множество конфигураций (10.37) несколько переполнено. [34]
Полученные результаты справедливы только в рассмотренном выше приближении слабой связи. Если ф0 - абсолютный ( но, возможно, вырожденный) минимум, то он представляет собой классический вакуум системы. V [ j ] такой абсолютный минимум должен быть пространственно независимым. Квантовый уровень, построенный согласно рассмотренной выше процедуре в окрестности такого абсолютного минимума, будет вакуумным состоянием и квантом данной полевой теории. [35]
Давайте эти вакуумы отождествим. Именно, в калибровке AQ О рассмотрим конфигурационное пространство - множество всех статических конфигураций А - ( х) с конечной статической энергией, причем калибровочно эквивалентные конфигурации отождествляются. В этом множестве имеется единственное основное состояние - классический вакуум. Рассмотрим теперь всевозможные пути в этом множестве, А - ( х т), начинающиеся и оканчивающиеся в классическом вакууме. [36]
Представим себе, что в секторе, соответствующем рис. 7.3 ( в), нам удалось найти поле, реализующее минимум статической классической энергии среди полей данного сектора. Это поле заведомо отлично от вакуумного - оно находится в другом секторе - и представляет собой решение статических уравнений поля. Такое поле будет наиболее энергетически выгодным среди полей данного сектора, а потому - устойчивым. Таким образом, существование кинка связано с нетривиальной топологией отображений пространственной бесконечности в множество классических вакуумов. Отметим, что топологические соображения, обобщающие изложенные здесь, хотя и не гарантируют существования солитонов в других моделях, но очень часто оказываются весьма полезными для поиска солитонов. [37]
Давайте эти вакуумы отождествим. Именно, в калибровке AQ О рассмотрим конфигурационное пространство - множество всех статических конфигураций А - ( х) с конечной статической энергией, причем калибровочно эквивалентные конфигурации отождествляются. В этом множестве имеется единственное основное состояние - классический вакуум. Рассмотрим теперь всевозможные пути в этом множестве, А - ( х т), начинающиеся и оканчивающиеся в классическом вакууме. [38]
Подчеркнем, что интерпретация 9-вакуумов и их невырожденных энергий EQ как обусловленных туннелированием между топологическими вакуумами N является калибровочно-зависи-мой интерпретацией. При определении состояний N) мы использовали калибровочные условия, сводящиеся к А0 0, а также eia ( 00) j для статических классических вакуумов. Мы выбрали эту калибровку потому, что она предоставляет возможность для привлекательной аналогии со значительно более простыми квантовомеханическими проблемами ЗПП и ЧНО. В другой калибровке, однако, интерпретация в общем была бы другой. А однозначно определяется через FHV, вообще нет остаточной калибровочной свободы. Классический вакуум один, и наша картина туннелирования не имеет смысла. Полученные конкретные результаты, а именно существование 9-вакуумов и их энергий EQ. [39]
Отметим, что инстантонам можно дать несколько иную интерпретацию ( Мантон, 1983), которая, в действительности, эквивалентна изложенной выше. С точки зрения калибровочно-инвариантных величин топологически различные классические вакуумы эквивалентны, поскольку они отличаются только калибровочным преобразованием. Давайте эти вакуумы отождествим. Именно, в калибровке А0 О рассмотрим конфигурационное пространство - множество всех статических конфигураций Ai () с конечной статической энергией, причем калибровочно-эквивалентные конфигурации отождествляются. В этом множестве имеется единственное основное состояние - классический вакуум. Рассмотрим теперь всевозможные пути в этом множестве, А (, r), начинающиеся и оканчивающиеся в классическом вакууме. [40]
Отметим, что инстантонам можно дать несколько иную интерпретацию ( Мантон, 1983), которая, в действительности, эквивалентна изложенной выше. С точки зрения калибровочно-инвариантных величин топологически различные классические вакуумы эквивалентны, поскольку они отличаются только калибровочным преобразованием. Давайте эти вакуумы отождествим. Именно, в калибровке А0 О рассмотрим конфигурационное пространство - множество всех статических конфигураций Ai () с конечной статической энергией, причем калибровочно-эквивалентные конфигурации отождествляются. В этом множестве имеется единственное основное состояние - классический вакуум. Рассмотрим теперь всевозможные пути в этом множестве, А (, r), начинающиеся и оканчивающиеся в классическом вакууме. [41]