Cтраница 3
Сумма квадратов степеней всех неприводимых ( не изоморфных между собой) представлений конечной группы равна порядку группы. [31]
Почти все результаты, которые будут получены ниже, относятся к представлениям конечной группы G над полем F, характеристика которого не делит порядок группы G. [32]
Результаты о представлениях абелевых групп позволяют получить некоторую информацию и о представлениях произвольных конечных групп. [33]
Этот метод является также до сих пор единственным эффективным орудием для доказательства полной приводимости представлений конечных групп. [34]
Обозначения представлений меняются в зависимости от той области физики, в которой используется теория представлений конечных групп. Так, система обозначений, принятая в молекулярной физике, несколько отличается от используемой в физике твердого тела. В молекулярной физике каждое представление обозначают одной буквой: А и В - представления с размерностью, равной единице, Е - двумерные представления и F ( или Т) - трехмерные представления. [35]
В книге содержатся следующие разделы: матрицы и системы линейных уравнений, элементы общей алгебры, представления конечных групп. При этом учение о системах линейных, уравнений излагается без использования понятия линейной зависимости, а изложение теории представлений коночных групп имеет теоретике-кольцевую папрапленность. Уделено внимание и упражнениям, помогающим овладеть изложенными в пособии понятиями. [36]
Работая над этой проблемой Георг Фробениус создал несколько новых плодотворных теорий, одна из которых была теория представлений конечных групп, а другая - теория линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, которой посвящена данная работа. [37]
Обе приведенные теоремы вместе с теоремой 2.4 показывают, что рассмотрение представлений групп с конечным числом образующих теперь уже сводится к представлениям конечных групп некоторой заданной степени. Кроме того, мы имеем здесь следующее замечательное обстоятельство: бесконечные матричные группы с конечным числом образующих не могут быть простыми. [38]
Практическое вычисление неприводимых представлений какой-либо конечной группы является, обычно, довольно сложной задачей, которая в явной форме решена лишь для отдельных классов конечных групп, например для коммутативных групп, для симметрических групп и некоторых других, хотя с теоретической точки зрения свойства представлений конечных групп изучены довольно подробно. [39]
Представление & называется ограниченным, унитарным и / или ортогональным, если соответствующим свойством обладают все его матрицы. Каждое представление конечной группы и каждое унитарное представление ограничено. Для каждого ограниченного представления существует эквивалентное унитарное представление. [40]
Представление g называется ограниченным, унитарным и / или ортогональным, если соответствующим свойством обладают ьсе его матрицы. Каждое представление конечной группы и каждое унитарное представление ограничено. Для каждого ограниченного представления существует эквивалентное унитарное представление. [41]
Представления и характеры давно и с большим успехом используются при изучении строения групп. Теория представлений конечных групп над полем, возникшая в конце прошлого века, бурно развиваемся в настоящее время. Она естественным образом подразделяется на теории обыкновенных и модулярных представлений. [42]
Отметим далее, что в теории линейных представлений особое внимание уделяется представлениям в нолях простой характеристики, и здесь выделяют еще случай модулярных представлений. Модулярное представление - это представление конечной группы, порядок которой делится на характеристику поля представления. [43]
Как известно, всякое представление конечной группы над полем характеристики 0 - полупростое. Мы обобщим этот результат и установим, что если представление Р группы G над полем характеристики 0 индуцирует полупростое представление некоторого нормального делителя конечного индекса группы G, то и само представление Р полупросто; этот результат, видимо, новый. Он позволяет показать, что всякое непрерывное представление группы Ли, которая имеет только конечное число связных компонент и алгебра Ли которой полупроста, будет полупростым представлением. [44]
Гильберта о корнях, можно показать, что Г допускает точное представление той же степени п и над полем алгебраических чисел. Известно также, что каждое представление конечной группы над полем комплексных чисел эквивалентно некоторому унитарному представлению. [45]