Cтраница 3
Гз или Е 9 Е, U ( и, вероятно, еще под многими другими наименованиями) и называемые иногда двузначными представлениями, отличаются от первых пяти тем, что элементу R в этих представлениях соответствует отрицательная единичная матрица. Поэтому, очевидно, DJ при полуцелых / разлагается только на двузначные представления. Характеры их приведены в табл. 6 в конце книги. [31]
В отличие от трехмерной группы вращений, здесь можно было бы соответствующим выбором дробных значений Q получить не только одно - и двузначные представления, но и представления трехзначные и выше. Однако физически возможные собственные значения момента импульса, как оператора трехмерного бесконечно малого поворота, определяются представлениями именно трехмерной группы вращений. Поэтому трехзначные ( и выше) представления двумерной группы вращений ( а также любой конечной группы симметрии), хотя и могут быть математически определены, но не имеют физического смысла. [32]
Все представления группы SL ( 2) однозначны; таким образом, отпадает надобность в неестественном с алгебраической точки зрения понятии, каким является двузначное представление. [33]
В число всех неприводимых представлений двойной точечной группы входят, во-первых, представления, совпадающие с однозначными представлениями простой группы ( причем элементу Q, как и Е, соответствует единичная матрица), и, во-вторых, двузначные представления простой группы, причем элементу Q соответствует отрицательная единичная матрица; нас интересуют сейчас именно эти последние представления. [34]
Соответствие ( 53 1) при условии ( 53 2) называется двузначным представлением группы G. Двузначное представление не является представлением в строгом смысле этого слова, так как каждому элементу g группы G соответствует не один, а два оператора. [35]
Как можно показать, однозначных представлений группы вращений в двумерном комплексном пространстве ( кроме тривиального представления единичной матрицей) вовсе не существует. Полученное двузначное представление называется спинорным. [36]
В связи с применением этих правил отметим, что в случае двузначных представлений единичное представление содержится не в симметричном, а в антисимметричном произведении представления самого на себя. Для двузначного представления с размерностью 2 произведение D 2 просто совпадает с единичным. [37]
По тем же причинам, что и для обычных представлений, два комплексно сопряженных двузначных представления должны рассматриваться как одно физически неприводимое представление с удвоенной размерностью. Одномерные же двузначные представления надо удваивать даже, если их характеры вещественны. Дело в том ( см. § 60), что у систем с полуцелым спином комплексно сопряженные волновые функции линейно независимы. Поэтому, если мы имеем двузначное одномерное представление с вещественными характерами1) ( осуществляемое некоторой функцией / 0), то хотя комплексно сопряженная функция преобразуется по эквивалентному представлению, можно все же утверждать, что ф и ф линейно независимы. [38]
По тем же причинам, что и для обычных представлений, два комплексно сопряженных двузначных представления должны рассматриваться как одно физически неприводимое представление с удвоенной размерностью. Одномерные же двузначные представления надо удваивать даже, если их характеры вещественны. Дело в том ( см. § 60), что у систем с полуцелым спином комплексно сопряженные волновые функции линейно независимы. Поэтому, если мы имеем двузначное одномерное представление с вещественными характерамих) ( осуществляемое некоторой функцией - 0), то хотя комплексно сопряженная функция ф преобразуется по эквивалентному представлению, можно все же утверждать, что ф и ф линейно независимы. [39]
По тем же причинам, что и для обычных представлений, два комплексно сопряженных двузначных представления должны рассматриваться как одно физически неприводимое представление с удвоенной размерностью. Одномерные же двузначные представления надо удваивать даже, если их характеры вещественны. Дело в том ( см. § 60), что у систем с полуцелым спином комплексно сопряженные волновые функции линейно независимы. [40]
Хотя физическое вращение на угол 2л возвращает систему в начальное положение, характер в данном случае не совпадает с характером тождественного преобразования, а имеет ту же величину, но с обратным знаком. Таким образом, для двузначных представлений характер физически тождественного преобразования имеет два значения. [41]
Между тем случай размерности 2 в физике очень важен: двухкомпонентные поля служат для описания электрона, позитрона и нейтрино. Отсюда ясно, почему применяются двузначные представления группы Лоренца. [42]