Cтраница 4
Нельзя не отметить еще одно важное обстоятельство: при t tu новая Ж - функция принимает два различных значения, одно - для системы до обращения скоростей, другое - для системы после обращения скоростей. Энтропия системы до обращения и после обращения скоростей различна. Это напоминает ситуацию, происходящую при преобразовании пекаря, когда сжимающийся и растягивающийся слои - скорости, переходящие друг в друга при обращении. [46]
Микроскопическая теория необратимости приводит не только к. Обычные представления о траекториях в пространстве-времени при переходе к неустойчивым системам наталкиваются на значительные трудности. В этом нетрудно убедиться хотя бы на примере преобразования пекаря. [47]
Как известно, в динамике информация сохраняется, в то время как цепи Маркова, забывая предысторию, утрачивают информацию ( вследствие чего энтропия возрастает; см. гл. Никакого противоречия здесь нет: когда от динамического описания преобразования пекаря мы переходим к термодинамическому описанию, нам приходится изменять функцию распределения. [48]
Как известно, в динамике информация сохраняется, в то время как цепи Маркова, забывая предысторию, утрачивают информацию ( вследствие чего энтропия возрастает; см. гл. Никакого противоречия здесь нет: когда от динамического описания преобразования пекаря мы переходим к термодинамическому описанию, нам приходится изменять функцию распределения. Связано это с тем, что объекты, в терминах которых энтропия возрастает, отличаются от объектов, рассматриваемых в динамике. Новая функция распределения р соответствует внутренне ориентированному во времени описанию динамической системы. [49]
Рассмотрим теперь два примера сильно неустойчивых систем. Первый пример чисто математический, второй имеет непосредственное отношение к физике. Первая система - преобразование, названное математиками по понятным соображениям преобразованием пекаря ( 9, 10 ], Берется квадрат и сплющивается в прямоугольник. Половина прямоугольника отрезается, накладывается на другую половину, а получившийся квадрат снова раскатывается в прямоугольник. Последовательность операций, представленная на рис. 9.7, может быть повторена сколько угодно раз. [50]
Теперь нам необходимо совершить переход от внутренне случайных систем к системам внутренне необратимым. Для этого нам необходимо понять, чем, собственно, отличается сжимающийся слой от растягивающегося. Нам известна еще одна система, столь же не-устойчивая, как и преобразование пекаря, - система, описывающая рассеяние твердых шаров. Для это системы растягивающиеся и сжимающиеся слои име - ют простой физический смысл. [51]
Каждый раз квадрат разбивается на части, которые перекладываются в другом порядке. Квадрат в этоъг примере соответствует фазовому пространству. Преобразование пекаря переводит каждую точку квадрата в однозначно определенную новую точку. Хотя последовательность точек-образов вполне детерминистич-на, преобразование пекаря обнаруживает также статистические свойства. Пусть начальное условие для системы состоит в том, что область А квадрата первоначально равномерно заполнена представляющими точками. Можно показать, что, после того как преобразование будет повторено достаточное число раз, начальная ячейка А, каковы бы ни были ее размеры и расположение в квадрате, распадется па отдельные несвязные части ( рис. 37), Следовательно, любая область квадрата, независимо от ее размеров, всегда содержит различные траектории, которые при каждом дроблении области расходятся. [52]
Каждый раз квадрат разбивается на части, которые перекладываются в другом порядке. Квадрат в этом примере соответствует фазовому пространству. Преобразование пекаря переводит каждую точку квадрата в однозначно определенную новую точку. Хотя последовательность точек-образов вполне детерминистична, преобразование пекаря обнаруживает также статистические свойства. [53]
Существуют потоки, обладающие еще более сильными свойствами, чем перемешивание. Особый интерес представляют К-потоки, свойства которых особенно близки к свойствам стохастических систем. Мы все далее и далее отходим от идеи детерминизма, долго считавшегося характерной чертой классической динамики. В приложении А мы рассмотрим в качестве примера так называемое преобразование пекаря. [54]
Рассмотрим распределение, сосредоточенное не на всей поверхности квадрата, а на отрезке прямой. Отрезок может быть вертикальным или горизонтальным. Выясним, что произойдет с этим отрезком под действием преобразований пекаря, обращенных в будущее. [55]
Как показано в этой главе, принятие второго начала термодинамики в качестве фундаментального динамического принципа приводит к далеко идущим следствиям в наших представлениях о пространстве, времени и динамике. Применение второго начала позволяет нам определить новое внутреннее время Т1, которое в свою очередь дает возможность сформулировать нарушение симметрии, лежащее в основе второго начала. Как было показано, введенное нами внутреннее время существует только для неустойчивых динамических систем. Его среднее Г согласуется с динамическим временем в таких ситуациях, которые описываются, например, преобразованием пекаря. [56]
Критерий гомоклинической траектории является математическим приемом получения прогностического соотношения между безразмерными группами переменных физической системы. Он дает необходимое, но недостаточное условие возникновения хаоса. Критерий гомоклинической траектории может также порождать необходимое и достаточное условие предсказуемости поведения динамической системы ( см. разд. Если отбросить его сложную, несколько таинственную математическую инфраструктуру, то по существу речь идет о методе, позволяющем определить, обладает ли модель в форме обыкновенных дифференциальных уравнений или дифференциальных уравнений в частных производных свойствами отображения типа подковы или преобразования пекаря. [57]
Вместе с тем внутреннее время существенно отличается от внешнего времени, отсчитываемого нами по наручным часам. Оно соответствует скорее возрасту человека. Возраст не определяется какой-нибудь частью тела, изолированной от остального организма, а соответствует средней, глобальной оценке, относящейся ко всем частям тела. Рассматривая структуру города или ландшафта, мы наблюдаем временные элементы во взаимодействии и сосуществовании, Такие города, как Бразилиа или Помпеи, при таком сопоставлении соответствовали бы вполне определенному внутреннему возрасту, напоминающему в известной степени возраст разбиений при преобразовании пекаря. Наоборот, современный Рим, застройка которого производилась в различные периоды, соответствовал бы среднему времени, подобно тому, как произвольное разбиение допускает разложение на разбиения, соответствующие различным внутренним временам. [58]