Cтраница 4
На этом мы заканчиваем свой перечень уравнений, содержащий 37 разрешимых уравнений и 5 уравнений, которые не разрешимы методом спектрального преобразования, по крайней мере в настоящее время. Повторяем, что данный перечень отнюдь не полон. Во-первых, число новых найденных разрешимых уравнений быстро растет. Во-вторых, мы ограничили свой перечень дифференциальными уравнениями в частных производных или интегро-дифференциальными уравнениями, не упоминая даже об уравнениях в конечных разностях, а метод спектрального преобразования может быть распространен и на дискретный случай ( Дискретными могут быть либо пространственная координата, либо временная, либо обе) Тем же самым мы будем ограничиваться и в остальной части книги. [46]
В § 2 вводится класс уравнений с коэффициентами, линейно зависящими от переменной, которые также могут быть решены методом спектрального преобразования. Общее решение некоторых из этих уравнений может, однако, иметь сингулярности, характер которых еще не вполне ясен. [47]
В данном параграфе мы рассмотрим класс нелинейных эволюционных уравнений с коэффициентами, линейно зависящими от х, которые решаются методом спектрального преобразования, основанного на спектральной задаче для уравнения Шредингера. В первой части параграфа наш подход будет носить формальный характер, а именно мы будем предполагать, что решения рассматриваемых уравнений остаются все время в классе fiF - no - тенциалов. [48]
Следовательно, если начальные данные принадлежат классу BF-потенциалов, то нелинейное эволюционное уравнение ( 109) может быть решено методом спектрального преобразования, а его решение и ( х, t) [ формулы ( 59), ( 108) ] всегда будет оставаться в классе BF-потенциалов. [49]
Пригодность спектральных интегральных соотношений, подобных тем, которые были приведены в этом пункте, для изучения нелинейных эволюционных уравнений, разрешимых методами спектральных преобразований, указывалась многими авторами, например школой Кларксона [ 16], но они занимались обобщенной задачей Захарова - Шабата, а не задачей Шредингера. Все же приведенный в этом пункте набор формул, вероятно, самый полный из до сих пор опубликованных ( в частности, в работе [ 16] нет уравнений для двух разных потенциалов, а в работе [156] они приведены с опечатками. [50]