Cтраница 3
Так же как топология двумерных многообразий связана с характеристикой и топологической классификацией римановых поверхностей, непрерывные отображения этих многообразий приводят к аналогичным проблемам для аналитических функций. В самом деле, аналитическая функция определяет отображение своей римановой поверхности R в сферу S, на которой определены значения функции, и если подвергнуть R произвольному топологическому преобразованию, то получится класс топологических отображений, эквивалентных аналитическим функциям. [31]
Особенно интересны ограничения алгебраического характера: например, известно, что многообразие Wm глобально имеет гомотопический тип конечного комплекса и задана дискретная свободно действующая группа тг гладких или топологических преобразований с компактной фундаментальной областью. [32]
Если же преобразуемое множество является топологическим пространством, то среди всех его преобразований естественно выделить гомеоморфные отображения на себя. Преобразованием или топологическим преобразованием топологического пространства X называют любой гомеоморфизм пространства X на себя. Поскольку тождественное отображение и композиция ( произведение) двух гомеоморфизмов X на X являются гомеоморфизмами, отображение, обратное гомеоморфизму - гомеоморфизм, семейство всевозможных преобразований топологического пространства X есть группа. [33]
Центральная проекция является частным случаем топологического преобразования. [34]
Наиболее трудными для расчета являются системы с неплоской схемой соединений, когда имеются самопересечения ветвей без образования узлов. Превращение ее в плоскую с помощью линейных преобразований в принципе возможно лишь за счет устранения лишних ветвей, когда это удается по условиям постановки задачи. Однако иногда решение вопроса о том, является ли вообще схема неплоской, осложняется ее внешним видом и потому приводит к недоразумениям. Известное упрощение данного вопроса дают топологические преобразования схем, которые при сохранении прямолинейности ветвей являются проективными. [35]
Каждой точке Р много образия сопоставляется некоторая новая точка Р, при чем к соответствию предъявляется единственное требование, чтобы многообразие при этом не разрывалось. Иньь ми словами, топологически близкие друг другу точки должны отображаться в точки, также топологически близкие друг другу. Поскольку локальная топология всегда предполагается евклидовой, то ясно, что замена топологии в точке Р топологией в точке Р ничего не изменяет в многообразии. Следовательно, арифметическое многообразие до пускает самое общее топологическое преобразование, так что его симметрия есть симметрия группы всех воз можных топологических преобразований. [36]
Последнее условие, взаимная непрерывность, сохранение бесконечной близости между переменной и фиксированной точками, сохранение отношения прикосновения частей фигуры и является важнейшей идеей, лежащей в основе топологии. Вот почему говорят, что окружность и прямолинейный отрезок или окружность и лемниската ( восьмерка) - топологически различные фигуры. Действительно, если начертить на сферической поверхности произвольную замкнутую линию и сделать по ней разрез, то сфера распадается на две части, между собой не связанные. Тор же, как легко констатировать, этим свойством не обладает. Следует тут же отметить, что понятие топологического преобразования не совпадает с понятием деформации: первое шире второго. [37]
Каждой точке Р много образия сопоставляется некоторая новая точка Р, при чем к соответствию предъявляется единственное требование, чтобы многообразие при этом не разрывалось. Иньь ми словами, топологически близкие друг другу точки должны отображаться в точки, также топологически близкие друг другу. Поскольку локальная топология всегда предполагается евклидовой, то ясно, что замена топологии в точке Р топологией в точке Р ничего не изменяет в многообразии. Следовательно, арифметическое многообразие до пускает самое общее топологическое преобразование, так что его симметрия есть симметрия группы всех воз можных топологических преобразований. [38]
Это малопонятное и туманное описание позволяет тем не менее уловить суть предмета. Топология изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных преобразованиях. Непрерывные преобразования характеризуются тем, что точки, расположенные близко одна к другой до преобразования, остаются такими и после того, как преобразование закончено. При топологических преобразованиях разрешается растягивать и изгибать, но не разрешается рвать и ломать. Однако, с одной оговоркой: когда речь идет о преобразованиях, нас не интересует, что происходит в процессе этих преобразований, важны только начальное положение и конечный результат. Поэтому допускаются, скажем, разрезы по каким-то линиям, которые потом склеиваются по тем же линиям. Например, если шнурок завязан узлом и его концы соединены, можно разрезать его где-то, развязать узел и снова соединить на месте разреза. В этом смысле выражение геометрия на резиновой поверхности не слишком удачно. [39]
При создании этого типа графов Мейсон по существу из вершины ( узла) и ветви ( дуги) сделал чисто графические образы переменной величины и функциональной связи. Освободив ветвь графа от понятия физического объекта, которое с нею связывалось в ранее использовавшихся схемах, он получил графическое представление уравнений, применимое к любой области техники. При таком подходе к задаче независимыми переменными оказываются возмущения, действующие на систему, а вызванные в ней процессы или реакции системы рассматриваются как зависимые переменные. Графы распространения сигнала, как показывает само название, представляют переменные величины в виде сигналов, распространяющихся вдоль ветвей графа. При прохождении по ветвям сигналы изменяются в соответствии с характеристиками ветвей, по которым они проходят. В каждой вершине приходящие в нее сигналы складываются, чем определяется новая зависимая переменная. Эта переменная рассматривается как новый сигнал, который передается по ветвям, исходящим из вершины. Мейсон показал, что топологические преобразования линейных графов соответствуют алгебраическим операциям, осуществляемым над системой уравнений. Решение графа может быть получено непосредственно или путем преобразований к конечному графу, в котором присутствуют лишь вершины, соответствующие искомым переменным, или ветви со значением входных проводимостей или передаточных функций системы. [40]