Cтраница 2
Существенным моментом решения является использование отрезка ОК. Связано это с тем, что в признаке перпендикулярности прямой и плоскости рассматриваются две прямые, проходящие через основание перпендикуляра, т.е. через точку О. Именно этим вызвана необходимость вначале ссылаться на теорему о трех перпендикулярах, а не на признак перпендикулярности прямой и плоскости. [16]
Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости, перпендикулярна плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости на комплексном чертеже гласит: для того, чтобы прямая была перпендикулярна к плоскости, необходимо и достаточно, чтобы горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция - к фронтальной проекции фронтали плоскости. [17]
Обозначим через К, L, M середины ребер АС, ВС, АО соответственно. Треугольники BDC и ABC равносторонние, значит, DL ] ВС и AL J ВС. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая ВС перпендикулярна плоскости ALO. По условию точка Р равноудалена от вершин пирамиды В и С. Значит, точка Р лежит в плоскости ALO. Аналогично доказывается, что плоскость ВМС перпендикулярна ребру АО и точка Р лежит в плоскости ВМС. Итак, точка Р лежит на пересечении плоскостей ALD и ВМС. Точки L и М принадлежат двум плоскостям: ALO и ВМС. Значит, эти плоскости пересекаются по прямой LM и точка Р лежит на этой прямой. [18]
Вместе с тем не следует зазубривать определения слово в слово, буква в букву - можно допускать некоторые отступления от формулировки, данной в учебнике. В то же время эти отступления не должны заходить слишком далеко. Например, довольно часто поступающие берут признак перпендикулярности прямой и плоскости в качестве определения перпендикулярности прямой и плоскости. Но, к сожалению, они не всегда понимают, что при этом новом определении бывшее определение становится теоремой, подлежащей доказательству. [19]
Обозначим через л плоскость, проходящую через прямую EF и перпендикулярную BS. Тогда плоскость EFG будет перпендикулярна BS по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. [20]
По условию задачи на прямой АС существует точка F такая, что FE J АС и FE J BS. Обозначим через я плоскость, проходящую через прямую EF и перпендикулярную BS. Тогда плоскость EFG будет перпендикулярна BS по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. [21]
Большая часть времени, отводимая на изучение этой темы, предназначена для решения задач. Уровень усвоения учащимися теоретического материала проверяется прежде всего умением применять его при выполнении упражнений. Навыки решения простейших задач на узнавание конфигурации, связанных с признаком перпендикулярности прямой и плоскости, теоремой о трех перпендикулярах и другими, являются основными. Они необходимы для формирования умений находить зависимости между различными элементами многогранников или определения их размеров. [22]
Существенным моментом решения является использование отрезка ОК. Связано это с тем, что в признаке перпендикулярности прямой и плоскости рассматриваются две прямые, проходящие через основание перпендикуляра, т.е. через точку О. Именно этим вызвана необходимость вначале ссылаться на теорему о трех перпендикулярах, а не на признак перпендикулярности прямой и плоскости. [23]
Обозначим через К середину отрезка ВС, через L, М - точки пересечения отрезков K. Так как прямая LM есть пересечение плоскостей а и AK. AD, то прямые LM и AD параллельны. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая ВС перпендикулярна плоскости AKD. Но Р5ЦВС, следовательно, прямая PS, а поэтому и плоскость а перпендикулярны плоскости AK. Это означает, что проекция AD на плоскость а совпадает с прямой LM и расстояние от AD до плоскости а ( обозначим его через d) равно расстоянию между параллельными прямыми AD и LM. [24]
Вычислим теперь расстояние от ребра AD до плоскости а в предположении, что АР х - некоторое число из промежутка 0д: а. Так как прямая LM есть пересечение плоскостей а и AK. D к a AD, то прямые LM и AD параллельны. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая ВС перпендикулярна плоскости AKD. Но PS 1 ВС, следовательно, прямая PS, а поэтому и плоскость а перпендикулярна плоскости AKD. Это означает, что проекция AD на плоскость ос совпадает с прямой LM и расстояние от AD до плоскости a ( обозначим его через d) равно расстоянию между параллельными прямыми AD и LM. [25]
Отсюда на основании признака перпендикулярности прямой и плоскости вытекает, что прямая АС перпендикулярна плоскости BSM и, в частности, прямой BS. С помощью признака перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая АС перпендикулярна плоскости BSF. [26]
Отсюда на основании признака перпендикулярности прямой и плоскости вытекает, что прямая АС перпендикулярна плоскости BSM и, в частности, прямой BS. С помощью признака перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая АС перпендикулярна плоскости BSF. Прямоугольные треугольники ASF и CSF равны по двум катетам. [27]
Докажем, что точка Р совпадает с точкой N. По построению прямая CN перпендикулярна плоскости КОС. В частности, она перпендикулярна прямой K.D. По условию прямые PC и K D также перпендикулярны. V и Р различны, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая K. D перпендикулярна плоскости CPN, т.е. плоскости CLM. [28]
ЛС перпендикулярна плоскости BSM и, в частности, прямой BS. С помощью признака перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая АС перпендикулярна плоскости BSF. Прямоугольные треугольники ASF и CSF равны по двум катетам. [29]
С В перпендикулярны прямой DE. По свойству перпендикулярности прямой и плоскости заключаем теперь, что DELAF, Прямая AF строилась перпендикулярно прямой ВС. Следовательно, прямая AF перпендикулярна двум пересекающимся прямым ВС и DE в плоскости а. Опять по признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что AF La, чем и завершаем доказательство. [30]